工程表格/Z 变换性质

	时域	Z 域	ROC
符号	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$	ROC: $r_{2}<|z|<r_{1}\$
线性	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\$	至少 ROC1 和 ROC2 的交集
时间移位	$x[n-k]\$	$z^{-k}X(z)\$	ROC，除了 $z=0\$ 如果 $k>0\,$ 和 $z=\infty$ 如果 $k<0\$
Z 域的缩放	$a^{n}x[n]\$	$X(a^{-1}z)\$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\$
时间反转	$x[-n]\$	$X(z^{-1})\$	${\frac {1}{r_{2}}}<|z|<{\frac {1}{r_{1}}}\$
共轭	$x^{*}[n]\$	$X^{*}(z^{*})\$	ROC
实部	$\operatorname {Re} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$	ROC
虚部	$\operatorname {Im} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$	ROC
微分	$nx[n]\$	$-z{\frac {\mathrm {d} X(z)}{\mathrm {d} z}}$	ROC
卷积	$x_{1}[n]*x_{2}[n]\$	$X_{1}(z)X_{2}(z)\$	至少 ROC1 和 ROC2 的交集
相关性	$r_{x_{1},x_{2}}(l)=x_{1}[l]*x_{2}[-l]\$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}(z)X_{2}(z^{-1})\$	至少在 X1(z) 和 X2($z^{-1}$) 的 ROC 交集处
乘法	$x_{1}[n]x_{2}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$	至少 $r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}\$
帕塞瓦尔定理	$\sum ^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$

• 初始值定理

$x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\$，如果 $x[n]\,$ 为因果信号

• 最终值定理

$x[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z)\$，只有当 $(z-1)X(z)\$ 的极点都在单位圆内时