享受数学 - 用有趣的数学谜题学习解决问题
 |
一位维基教科书人认为此页面应该拆分为包含更窄子主题的更小页面。 您可以通过将此大页面拆分为更小的页面来提供帮助。请确保遵循命名策略。将书籍分成更小的部分可以提供更多的焦点，并允许每个部分做好一件事，这有利于所有人。 |
简介
这本书旨在作为 4-7 年级学生和老师的数学问题解决教科书。在美国，它旨在用于满足美国数学教师全国委员会 (NCTM) 关于解决问题的标准，该标准总结如下。
从幼儿园到 12 年级的教学计划应该使所有学生能够——
- 通过解决问题来构建新的数学知识；
- 解决数学和其他环境中出现的问题；
- 应用和调整各种合适的策略来解决问题；
- 监控和反思数学问题解决的过程。
提高数学教育质量的一个关键挑战是，在轻松获得被认为是令人愉快的替代娱乐活动的情况下，激发学生对学习的兴趣。休闲数学确定了包括成人和儿童都可以享受的谜题在内的数学活动。数独谜题就是一个很好的例子。另一个例子是肯肯®谜题，纽约时报称其为“自数独以来最令人上瘾的谜题”。目前，这类谜题在课堂上的作用非常有限，因为只有少量数学课程可以用这些谜题来教授。本书的目的是在有趣的数学谜题的背景下，为各种各样的数学问题解决主题提供课程。谜题问题特别适合教创造性解决问题。谜题问题通常足够难，需要应用各种问题解决策略。反思这个过程可以让你进一步了解数学。
以下人员对本书做出了重大贡献。如果您对本书做出了重大贡献（即添加了重要的内容或进行了大量的编辑），请随时在下面添加您自己的引用。
| 姓名 | 角色 | 评论 |
|---|---|---|
| Deepak Kulkarni | 作者/贡献者 | 本书的初始版本包括我之前拥有版权的文本，我想在知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可下发布这些文本。Deepak_S_Kulkarni (讨论) 2012 年 11 月 7 日 (UTC) |
自古以来，人们就喜欢游戏、魔术表演、比赛和谜题等活动。因此，发现学生喜欢基于数学的类似活动并不奇怪。有各种各样的基于数学的游戏和数学游戏软件。Krypto 和 24 是数学游戏的很好的例子。和游戏一样，比赛对许多喜欢通过做一些事情来赢得一些东西的孩子来说也很有吸引力。因此，数学竞赛可以成为孩子们喜欢并且可以鼓励孩子们解决数学问题的活动。在参加比赛的过程中，有些孩子开始喜欢数学。在美国，学生可以参加的数学竞赛包括 NOETIC 学习数学竞赛、MOEMS、北南基金会的数学蜂、数学袋鼠、世界数学日、密西西比大学数学挑战赛、在线数学联盟、MATHCOUNTS 和 AMC。数学魔术技巧包括关于猜测数字和一些基于数学的纸牌技巧。
还有另一种娱乐活动是做数学谜题。本书将考察各种数学技巧在数学谜题中的应用。特别是，我们将研究肯肯这个谜题中的创造性问题解决。我们喜欢做谜题，因为我们有一种自然的倾向，会被惊喜、矛盾和知识的差距所驱动。虽然数学谜题可以激发和吸引学生，让他们开始行动，但具有挑战性、质疑和反思的氛围可以使数学问题解决的体验更加愉快。
有了正确的态度和练习，学生可以享受数学思维的过程。这个过程包括思考数学问题，观察美丽的数学模式，提出优雅的见解，面对你可能能够或不能解决的难题，体验解决这些问题的兴奋感，反思数学思维，并从成功和失败中学习。一旦学生开始喜欢创造性的数学问题解决，他们就可以在任何地方享受这项活动。然后，创造性思维的乐趣就是他们激励自己开始解决任何具有挑战性的数学问题的动力。
对于一些问题，学生在读题时就能够知道应该使用什么策略。然而，对于特别困难的问题，他们并不能立即知道该如何解决。解决这类问题的进展往往来自启发式方法或“经验法则”，这些方法可能有用，但不能保证能够解决问题。因此，解决问题的过程往往需要进行多次探索，或尝试不同的想法。解决问题的过程可能经历不同的阶段，例如尝试理解问题，制定特定的方法，卡住并尝试摆脱困境，批判性地检查解决方案，或进行交流。这个过程可能涉及在这些不同的工作阶段之间反复进行。在这本书中，我们将提供各种不同的解决问题的经验法则。这些启发式方法可以用条件和相关行动的形式来描述，其中条件描述问题的情况，行动描述在这种情况下的应对措施。
情况：您即将开始解决一个问题吗？您是否正在尝试理解一个问题？
尝试通过以下问题来理解问题
给定的是什么？需要找到什么？是否可以绘制问题描述的背景的图片或图表？您可以重新措辞问题吗？您可以提出与问题相对应的具体例子吗？
情况：您已经想出了解决问题的方案吗？
如果解决问题的总体方法对您来说是显而易见的，请根据此方法创建一个解决问题的计划，并执行该计划。
如果您知道一个相关或类似的问题，您可以使用相关问题解决方案的知识来制定计划。
如果您无法制定解决问题的方案，您可能感到卡住了，您可能想要尝试更好地理解问题。
情况：您是否感到卡住了？
可以尝试许多不同的方法来摆脱困境。一种方法是尝试解决问题的简化版本，并使用问题的解决方案来获得对解决原始问题有用的见解。
当您发现一个模式或“顿悟”时，请尝试更详细地研究引发它的观察结果，并尝试观察它们如何在解决问题方面发挥作用。
或者，您也可以尝试更好地理解问题并使用相关建议。
情况：您是否正在忙于解决细节？
监控您的进度，并在需要时回溯。
不要忘记寻找模式、异常和惊喜（顿悟）。
寻找任何惊喜；了解它及其对问题的意义。
情况：您是否已经完成解决问题或子问题，或推断出关键结论？
批判性地检查您的假设和解决方案。
已经完成解决问题了吗？如果它起作用，请检查每个步骤。您能清楚地看到该步骤是正确的吗？您能证明它是正确的吗？
从反思中学习：专门化/泛化启发式方法。学习新的启发式方法。如果计划在短时间内没有产生解决方案，那么请不时检查：您为什么要做您正在做的事情？您是否正在取得进展？这是自我监控。如果您的计划失败了，请检查它为什么没有奏效。用评分标准或模板书写有助于回忆和研究您迄今为止所做的事情。组织信息。问：关于无效的方法，您能得出什么结论？您还学到了什么？您是否看到任何模式？
情况：您即将向老师或合作伙伴传达您的结论吗？
解决问题的最后一步是传达您的结论。传达的内容可能因情况而异。有时，您只需要报告问题的答案。有时，您需要展示您的工作。有时，您可能正在进行协作性问题解决。在这种情况下，良好的沟通能力至关重要。帮助他人解决您已经解决的问题可以帮助您培养成为一名优秀的数学交流者的技能。这类交流的方面包括向他人清楚地解释您的解决方案，理解他人的解决方案，并在不同细节层次上提供反馈。在为您的解决方案创建解释之后，仔细检查您是否已经证明了工作中的每个步骤。
具体的解决问题策略
1. 改变表示
使用错误的表示可能会使问题无法解决。改变表示的策略包括绘制图片并从完全不同的角度看待问题。通过绘制图片并使用它来可视化有关问题的信息，您将对问题有更清晰的理解，这将有助于您找到解决问题的方法，否则您可能看不到这些方法。
2. 制定一个有条理的清单或表格
制定一个有条理的清单可以让您清楚地检查数据。它可以帮助您确保您正在查看所有相关信息。它还将使您能够轻松地看到数据中的模式并得出正确的结论。同样，制定表格可以让您清楚地检查数据。它可以帮助您确保您正在查看所有相关信息。它还将使您能够轻松地看到数据中的模式并得出正确的结论。
3. 创建一个更简单的问题
有时，我们无法按原样解决问题，但我们可以解决一个在某些方面类似的更简单的问题。例如，类似的问题可能使用更简单的数字。一旦我们解决了一个或多个更简单的问题，我们可能就会理解可以用来解决类似类型问题的方案，并可能能够解决我们被赋予的问题。
4. 使用逻辑推理
逻辑推理在数学问题中以各种方式发挥作用。它可以用来排除可能的选项。它有时也可以用来直接得出答案。
5. 猜测和检查
“猜测和检查”策略可以应用于许多问题。如果可能的答案数量很少，则可以使用此策略快速得出答案。在其他一些情况下，即使可能的答案数量不少，人们仍然可以进行明智的猜测并得出答案。
6. 逆向工作
有时，从问题的末尾开始，向问题的开头反向工作，比从开头开始向结尾工作更容易。
面对困难问题的正确态度
通常，当一个人无法解决问题时，就会感到沮丧。自然的倾向是感到失望，因为“自我”会受到伤害。在解决问题的早期阶段，一个人可能在解决问题时卡住了。当您卡住时，您可能不知道可以采取什么行动来解决问题。但是，您可能相信老师希望您做一些工作。因此，您对这种情况感到不快。此外，当您卡住并且无法想到前进的方法时，您会预料到您很可能无法解决问题。这增加了这种情况的沮丧情绪。这解释了为什么人们经常看到学生对难题持消极态度。
帮助学生享受工作和坚持努力的态度包括以下一些要素
- 接受过程：接受解决难题的过程，在这个过程中，您会长时间工作，而且您并不总是确定自己是否能够解决问题，以及“卡住”是一种正常状态，以及这种过程包括各种情绪。
- 接受挑战的兴奋：当一个人进行一项简单的任务时，无法完成它被视为一件令人担忧的事情，而完成它则不是一件大事。相反，当一个人进行一项具有挑战性的任务时，无法完成它并不令人担忧，因为这项任务本身对任何人都很困难。当一个人完成一项具有挑战性的任务时，会有巨大的满足感和成就感。尽管如此，当您卡住时感到沮丧是正常的。当这种情况发生时，您可以先尝试确定问题的难点，并写下有关卡住状态的信息。学习一些可以始终在您卡住并且不知道可以尝试什么方法时使用的方法（例如，尝试一个更简单的问题）。最初，将目标定为“尝试在解决问题方面取得进展”，而不是将目标定为完全解决看似非常困难的问题。因此，在解决难题的过程中，人们会设定许多短期目标，并且即使人们没有在总体目标上取得成功，也会在其中许多目标上取得成功。特别是，当您使用解决问题的简化版本或解决问题的专门情况的策略时，请意识到您实际上是在解决过程中的某些问题，并取得了进展。取得进展包括收集信息、注意到模式以及获得关于问题的见解。这样，即使您在解决问题并取得进展时没有完全解决问题，您也会有一种成就感。有时，在最初感到沮丧之后，人们能够在解决问题方面取得进展并解决问题。
- 对待失败的态度：不要因失败而气馁。阅读这位著名科学家爱迪生的名言。一位助手问道：“为什么您要浪费时间和金钱？我们已经失败了又失败，几乎失败了一千次。您为什么要继续追求这项不可能的任务？”爱迪生说：“我们没有失败一千次，我们只是发现了用一千种方法无法发明电灯。”失败往往比成功提供了更大的学习机会。
此外，对学习的渴望有一个明确的目标，即尝试从解决问题过程中的成功和失败中学习。为了学到最多，您需要反思成功和失败。此外，如果您正在解决您并不总是能够解决的问题，那么您将学到最多。
- 欣赏数学之美：欣赏您在解决问题的过程中遇到的特别巧妙的见解和“顿悟”。这些可能是您在解决问题的过程中遇到的有趣的模式和惊喜。数学美包含在解决问题的过程中，对意想不到的事物感到惊讶，对未曾预料到的关系的感知以及困惑和启发的交替出现。数学美体现在模式中。著名数学家哈代写道：“数学家，就像画家或诗人一样，是模式的创造者。如果他们的模式比其他模式更持久，那是因为它们是用思想创造的。数学家的模式，就像画家或诗人的模式一样，必须是美丽的；思想，就像颜色或文字一样，必须和谐地融合在一起。”
- 对数学交流的兴趣：在解决问题的过程中，以及在反思成功和失败时，将你所学到的见解写下来很有帮助。与他人交流这两个方面的见解也很有帮助。如果你在课堂上学到一个数学技巧或一个谜题，你可能想与你的朋友或兄弟姐妹分享。
关于问题解决的信念
学生往往对数学的本质抱有某些信念，这些信念阻碍了他们创造性地解决难题的能力。以下是一些误导性信念的例子：
- 解决问题的方法并不唯一。
- 普通学生不可能理解数学。
- 数学问题总是由个人而不是由一群人解决的。
- 数学成绩优异的学生能在很短的时间内解决任何问题。
- 学校学习的数学主题在现实生活中没有用。
从反思中学习
练习得越多，你就会越好。但是，仅仅练习是不够的。对问题解决经验的反思可以帮助学生了解问题情况和问题解决过程。
回忆一下你是如何朝着解决方案前进的。记住进展过程中的重要方面。记住你卡住的阶段以及你是如何恢复的。此外，还记得你遇到的“顿悟”时刻。
你能从你的经验中学到什么？是什么让这个问题变得困难？什么有效？什么无效？你学到了什么教训？它是否告诉你不同方法对这类问题的有效性？如果你表达了特定的经验法则或策略，那么这些策略有效的理由是什么？在什么情况下这些策略会奏效？这些是更普遍策略的特殊情况吗？
反思问题解决经验的一个重要部分是更好地理解在未来问题情况下有用的策略和经验法则，并在可能的情况下，想出新的经验法则。这包括更好地理解启发式方法适用的情况，以及专门化或概括启发式方法。
父母和朋友的影响
朋友和父母在帮助孩子们培养对数学的积极态度方面发挥着非常重要的作用。
孩子们经常会被激励去参加学校的数学俱乐部，因为他们可以和朋友一起玩。如果俱乐部提供零食，那可能会提供额外的动力。数学俱乐部确实鼓励对数学的积极态度，并有助于提高数学方面的成功水平。如果你有一个对数学有浓厚兴趣的孩子，但班上没有兴趣相似的朋友，鼓励他/她参加学校的数学俱乐部会很有帮助。其他选择包括让他/她参加GATE数学课程，在那里他/她可以与兴趣相似的孩子互动。夏季数学夏令营也能达到这个目的。
父母可以通过在家做数学和支持数学来鼓励学生对数学产生兴趣，从而发挥重要作用。
数学谜题
[edit | edit source]各种数学谜题
数学谜题是休闲数学的组成部分。它们有特定的规则，就像多人游戏一样，但通常不涉及两个或多个玩家之间的竞争。相反，为了解开这样的谜题，解题者必须找到一个满足给定条件的解决方案。数学谜题需要数学来解开。逻辑谜题是一种常见的数学谜题。
康威的生命游戏和分形，作为两个例子，也可以被认为是数学谜题，即使解题者只在开始时通过提供一组初始条件与它们互动。设定这些条件后，谜题的规则决定所有后续的改变和移动。许多谜题之所以广为人知，是因为马丁·加德纳在他的《科学美国人》杂志上的“数学游戏”专栏中讨论过它们。数学谜题有时被用来激励学生学习小学数学问题解决技巧。这个列表并不完整。
List of mathematical puzzles
以下类别并不互斥；有些谜题属于多个类别。
数字、算术和代数
- 纵横字谜或数字纵横字谜
- 戴森数
- 四个四
- 数独
- 费曼长除法谜题
- 海盗战利品问题
- 文字算术
Combinatorial
- 密码
- N-拼图|十五拼图
- 数独
- 魔方和其他顺序移动谜题
- Str8ts，一种基于序列的数字谜题
- 数独
- 思考点
- 汉诺塔
Analytical or differential
- 橡胶绳上的蚂蚁
- 另请参见：芝诺悖论
Probability
- 蒙提霍尔问题
Tiling, packing, and dissection
- 疯人院立方体
- 康威谜题
- 残缺棋盘问题
- 装箱问题
- 五格骨牌铺砖
- 斯洛陶伯-格拉茨马谜题
- 索玛立方体
- T形拼图
- 七巧板
Involves a board
- 康威的生命游戏
- 残缺棋盘问题
- 单人跳棋
- 数独
Chessboard tasks
- 八皇后问题
- 骑士巡游
- 三子棋问题
Topology, knots, graph theory
结理论和拓扑学的领域，尤其是它们的反直觉结论，通常被视为休闲数学的一部分。
- 解开缠结谜题
- 哥尼斯堡七桥问题
- 水、煤气和电
Mechanical
- 魔方
- 思考点
0-player puzzles
- 康威的生命游戏
- 多面体
- 多格骨牌
在这本书中，我们将使用数独和数独的例子。所以，我们将详细讨论这些例子。
数独
[edit | edit source]
数独是一种基于逻辑的组合数字放置谜题。目标是填充一个 9×9 的网格，用数字，使每一列、每一行以及组成网格的九个 3×3 子网格（也称为“方块”、“块”、“区域”或“子方格”）包含从 1 到 9 的所有数字。谜题设置者提供一个部分完成的网格，通常只有一个解决方案。
完成的谜题始终是一种拉丁方，在单个区域的内容上有一个额外的约束。例如，同一个单一整数不能在同一个 9×9 的棋盘行或列中出现两次，也不能在 9×9 棋盘的九个 3×3 子区域中的任何一个中出现两次。
这个谜题在 1986 年由日本谜题公司 Nikoli 在名为数独的名字下推广，意思是单个数字。
虽然 9×9 网格和 3×3 区域是最常见的，但存在许多变体。示例谜题可以是 4×4 网格，包含 2×2 区域；5×5 网格，包含五格骨牌区域，已在名为Logi-5的条件下发布；世界谜题锦标赛已展示了 6×6 网格，包含 2×3 区域，以及 7×7 网格，包含六个七格骨牌区域和一个不连续区域。更大的网格也是可能的。泰晤士报提供了一个 12×12 网格的Dodeka 数独，包含 12 个 4×3 方格的区域。戴尔定期出版 16×16 的数字地点挑战者谜题（16×16 变体通常使用 1 到 G 而不是十六进制中使用的 0 到 F）。Nikoli 提供 25×25 的数独巨人庞然大物。数独zilla，一个 100×100 网格的谜题，于 2010 年在印刷品中出版。
另一个常见的变体是在通常的行、列和方块要求之外，添加数字放置的限制。通常限制采用额外的“维度”的形式；最常见的是要求网格主对角线上的数字也唯一。前面提到的数字地点挑战者谜题都是这种变体，就像每日邮报中的数独 X 谜题一样，它们使用 6×6 网格。iPhone/iPad 应用的数独 X4 系列将这种“X”变体与星期日电讯报风格的相互交错的彩色九格骨牌或拼图|拼图形状的九个空格结合在一起，而不是 3x3 区域，提供总共四种不同的谜题。
迷你数独在美国报纸《今日美国》和其他地方出现了一个名为“迷你数独”的变体，它是在 6×6 网格上进行的，包含 3×2 区域。目标与标准数独相同，但谜题只使用 1 到 6 的数字。类似的形式，用于解决更年轻的谜题解决者的谜题，称为“少年数独”，已在一些报纸上出现，例如《每日邮报》的某些版本。
交叉和数独另一个变体是在 9×9 网格上将数独与数独结合起来，称为交叉和数独，其中线索以交叉和的形式给出。线索也可以通过神秘的文字算术给出，其中每个字母代表 0 到 9 之间的单个数字。例如，NUMBER+NUMBER=KAKURO 有一个唯一的解决方案 186925+186925=373850。另一个例子是SUDOKU=IS×FUNNY，其解决方案是 426972=34×12558。
杀手数独
杀手数独变体结合了数独和数独的元素。
字母数独
出现了字母变化，有时被称为Wordoku；除非字母拼出单词，否则谜题在功能上没有任何区别。一些变体，例如在TV Guide中，包括一个单词，一旦解开，就会沿着主对角线、行或列读出；提前确定单词可以被视为解题辅助。Wordoku可能包含其他单词，而不是主单词。
超级数独
超级数独是最流行的变体之一。它由世界各地的报纸和杂志出版，也被称为“NRC Handelsblad|NRC Sudoku”、“Windoku”、“Hyper-Sudoku”和“4 Square Sudoku”。布局与普通数独相同，但有额外的内部区域定义，其中必须出现数字 1 到 9。由于对重叠正方形的利用，解题算法与普通数独谜题略有不同。这种重叠为玩家提供了更多信息，可以逻辑地减少剩余正方形中的可能性。玩游戏的策略与数独相似，但可能更强调扫描正方形和重叠，而不是列和行。
由多个数独网格构成的谜题很常见。五个 9×9 网格在角落区域以五星形图案重叠，在日本被称为 Gattai 5（五个合并）数独。在The Times、The Age 和The Sydney Morning Herald中，这种形式的谜题被称为Samurai SuDoku。Baltimore Sun 和Toronto Star 在周日版中出版了这种变体的谜题（标题为High Five）。通常，在重叠区域中找不到任何给定的值。顺序网格，而不是重叠，也出版了，网格中特定位置的值需要转移到其他网格中。
Str8ts 具有数独在行和列中唯一性的要求，但第三个约束条件非常不同。Str8ts 使用黑色单元格（一些带有线索数字）将棋盘分成隔间。这些必须用一组数字填充，这些数字形成一个“直线”，就像扑克牌中的顺子一样。顺子是一组没有间隙的数字，例如“4,3,6,5”——并且顺序可以是非连续的。9×9 是传统的尺寸，但通过适当放置黑色单元格，任何尺寸的棋盘都是可能的。
[[File:Comparison Sudoku.png|thumb|250px|数独的示例 数独的桌面版本可以使用标准的 81 张牌 Set 牌组（见 Set 游戏）。三维数独谜题由 Dion Church 发明，并于 2005 年 5 月在Daily Telegraph上发表。The Times 还以 Tredoku 的名称发布了三维版本。有一个数独版本的魔方，叫做数独魔方。
还有许多其他变体。一些是重叠 9×9 网格排列的不同形状，例如蝴蝶、风车或花朵。其他则改变了用于解决网格的逻辑。其中之一是大于数独。在这种情况下，数独的 3×3 网格用 12 个大于符号（>）或小于符号（<）在两个相邻数字的公共线上给出。解决方案逻辑的另一个变体是无提示数独，其中九个 9×9 数独网格本身被放置在一个三乘三的阵列中。所有九个谜题中每个 3×3 网格的中心单元格都留空，并形成一个没有完成任何单元格的第十个数独谜题；因此，称为“无提示”。
双数独
双数独是数独的双人变体。它在一个 4X4 的棋盘上进行，即 16 个方格或四个包含四个方格的集群。
游戏按照数独的规则进行。使用四个数字，每个玩家依次放置四个数字中的一个，使自己不会犯任何非法动作。第一个犯非法动作的玩家输掉。
KenKen 和 KenDoku 是 2004 年由日本数学教师宫本哲也发明的算术和逻辑谜题风格的商标名称，他是一位创新者，他说他练习“不用教的教学艺术”。那些没有使用 KenKen 或 KenDoku 商标权利的人有时会使用Calcudoku 和Mathdoku 这些名称。
与数独一样，每个谜题的目标都是用数字填充一个网格——对于 4×4 网格，使用 1 到 4，对于 5×5 网格，使用 1 到 5，依此类推——这样，每个数字在任何行或列中都不会出现超过一次（拉丁方格）。网格大小从 3×3 到 9×9 不等。此外，KenKen 网格被分成带有重叠轮廓的单元格组——通常称为“笼子”——并且每个笼子中的单元格中的数字必须使用指定的数学运算（加法、减法、乘法或除法）组合起来产生一个特定的“目标”数字。例如，在一个 4×4 谜题中，指定加法运算且目标数字为 6 的三个单元格笼子可以用数字 1、2 和 3 来满足。数字可以在笼子内重复，只要它们不在同一行或列中即可。对于单个单元格笼子，没有运算与之相关：在单元格中放置“目标”是唯一的可能性（因此成为一个“空位”。目标数字和运算出现在笼子的左上角。
示例
目标是用数字 1 到 6 填充网格，使得
- 每行都恰好包含一个数字
- 每列都恰好包含一个数字
- 每个用粗体轮廓线划出的单元格组都是一个笼子，其中包含使用指定的数学运算（加法 (+)、减法 (-)、乘法 (×) 和除法 (÷)）来实现指定结果的数字。（与杀手数独不同，数字可以在笼子内重复。）
数独和杀手数独中的一些技巧可以在这里使用，但大部分过程涉及列出所有可能的选项，并根据其他信息逐一消除选项。
在本例中
- 最左侧列中的“11+”只能是“5,6”。
- 顶行中的“2÷”必须是“1,2”、“2,4”或“3,6”之一。
- 顶行中的“20×”必须是“4,5”。
- 右上角的“6×”必须是“1,1,2,3”。因此，两个“1”必须在不同的列中，因此第 1 行第 5 列是“1”。
- 第四行中的“30x”必须包含“5,6”。
- 左侧的“240×”是“6,5,4,2”或“3,5,4,4”之一。无论哪种方式，五都必须在右上角的单元格中，因为我们已经在第 1 列中有了“5,6”，并且在第 4 行中也有“5,6”。
- 等等。
扩展 更复杂的 KenKen 问题是使用上述原则构建的，但省略了 +、-、× 和 ÷ 符号，因此将它们作为另一个未知数来确定。
在上一节中，我们描述了人们喜欢玩的一种谜题。在本节中，我们将讨论与这些谜题的解题相关的各种数学概念。这些探索中的许多可以应用于多个谜题，但这里将使用一个具体的例子进行讨论，并会指出其他相关的谜题。由于学生可能喜欢某个特定的谜题，或者老师可能出于实际考虑选择使用某个谜题，他们可能想研究这里的探索，并在具体谜题的背景下练习这些探索。本书的目的是让最广泛的学生受益，这些学生对谜题充满兴趣。
相关谜题：数独、数独变体、KenKen
一个集合是事物的集合。例如，你穿的物品就是一个集合：这些物品包括裙子、袜子、帽子、衬衫、牛仔裤等等。你可以用大括号这样写集合：{裙子、鞋子、牛仔裤、手表、衬衫，……}
两个集合的并集是包含在两个集合中的元素的集合。例如：设 A = {1, 2, 3} 且设 B = {3, 4, 5}。A 和 B 的并集写成 A U B = {1, 2, 3, 4, 5}。不需要将 3 列出两次。
两个集合的交集是包含在两个集合中的元素的集合。例如：设 A = {1, 2, 3} 且设 B = {3, 4, 5}。A 和 B 的交集写成 A Ç B = {3}。有时根本没有交集。在这种情况下，我们说答案是空集或空集。例如，给定集合 A = 所有大于 5 的素数，集合 B = 所有偶数素数，那么 A 和 B 的交集 = {}。
A 和 B 之间的差集是指在 A 中但不在 B 中的元素。
A = {1, 2, 3} B = {3, 4} 那么，A – B = {1, 2}
现在，考虑这里显示的数独谜题。
考虑以下集合
S1 = 未在第二行分配的数字的集合。
S2 = 未在第二列分配的数字的集合。
S3 = 与 3x3 左上角网格约束一致的数字的集合。
S4 = 在第二行分配的数字的集合。
S5 = 在第二列分配的数字的集合。
练习
- 识别 S1、S2、S3、S4 和 S5。
- 找出 S1 和 S2 的交集。
- 找出 S1、S2 和 S3 的交集。
- 从你的 (3) 的答案中，你关于第二行第二格的结论是什么？
- 在一个图片中表示 S1、S2 和 S3。
- 找出 S4 和 S5 的并集。
- 有三个集合 F、R 和 C。三个集合的并集有 60 个成员。F 有 32 个成员。R 有 32 个成员。C 有 22 个成员。F 和 C 的交集有 10 个成员。有 10 个成员专门属于 C。有 16 个成员专门属于 R。有 6 个成员属于 F、R 和 C 的交集。F 中有多少成员是专门属于 F 的？
- 检查上面显示的数独谜题。
识别以下集合。
S1：第 1 列中未分配的值的集合
S2：第 3 行中未分配的值的集合
找出 S1 和 S2 的交集。用它来确定第 1 列第 3 格中的可能值。
- . 上面的拼图中，第九行第一列的方格中可以填入哪些数字？
- S1 有 10 个成员。S2 有 8 个成员。它们的并集有 16 个成员。它们的交集有多少成员？
- S1 有 30 个成员。S2 有 28 个成员。它们的并集有 46 个成员。它们的交集有多少成员？
- S1 有 100 个成员。S2 有 108 个成员。它们的并集有 200 个成员。它们的交集有多少成员？
- S1 有 100 个成员。S2 有 128 个成员。它们的并集有 128 个成员。它们的交集有多少成员？
- 在下面的表格中寻找规律。
S1 中的成员 |
S2 中的成员 |
交集中的成员 |
并集中的成员 |
8 |
8 |
4 |
12 |
8 |
8 |
3 |
13 |
8 |
8 |
2 |
14 |
8 |
9 |
4 |
13 |
8 |
10 |
4 |
14 |
8 |
11 |
4 |
15 |
9 |
11 |
5 |
15 |
- 反思你在这次探索中所学到的东西。写下你学到的一些东西。
答案
- S1 = {2, 3,4,7,8} S2 = {1,2,4,5,7,8} S3 = {1, 2, 4,7} S4 = {1, 5,6,9} S5 = {3,6,9}.
- S1 和 S2 的交集 = {2,4,7,8}。
- S1、S2 和 S3 的交集 = {2,4,7}。
- 那个方格可以填 2、4 或 7。
- 留给读者解答
- 留给读者解答
- 用类似下面的表格或文氏图来表示信息。答案是，有 14 个成员只属于 F。
仅 F |
仅 R |
仅 C |
F, R, 不属于 C |
F, C 不属于 R |
C, R 不属于 F |
F, R, C | ||
16 |
10 |
6 | ||||||
60 |
全部 |
Y |
Y |
Y |
Y |
Y |
Y |
Y |
32 |
F |
Y |
Y |
Y |
Y | |||
32 |
R |
Y |
Y |
Y |
Y | |||
22 |
C |
Y |
Y |
Y |
Y | |||
10 |
F, C |
Y |
Y |
- 留给读者。
- 留给读者。
- 2
- 12
- 8
- 100
- 表格中有很多不同的规律。其中一个规律是，S1 中的元素数量 + S2 中的元素数量 = 交集中的元素数量 + 并集中的元素数量。
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 | |
A |
5040x |
18+ |
|||||||
确定上面 5040x 这样的肯肯乘积笼中填入的数字，需要判断目标数字是否可以被某个特定的因子整除。可除性规则在做这件事的时候特别有用。在本节探索中，我们将学习可除性概念。
练习
1) 可以被 5 整除的数字举例如下：5, 10, 15, 20, 15, 20, 105, 110, 205, 2300。你发现这些数字有什么规律吗？
2) 你发现下面表格中列出的可以被 9 整除的数字有什么规律吗？
|
数字 |
27 |
927 |
9000 |
9909 |
20,007 |
17,127 |
900,009 |
|
各位数字之和 of digits |
9 |
18 |
9 |
27 |
9 |
18 |
18 |
3) 你发现下面表格中列出的可以被 6 整除的数字有什么规律吗？
|
数字 |
222 |
1002 |
7008 |
2004 |
220,026 |
|
各位数字之和 of digits |
6 |
3 |
15 |
6 |
12 |
|
末位数字 digit |
2 |
2 |
8 |
4 |
6 |
4) 你发现下面表格中列出的可以被 11 整除的数字有什么规律吗？
|
数字 |
22 |
1331 |
123,244 |
5060 |
7260 |
奇数位数字之和 |
2 |
4 |
8 |
0 |
2 |
偶数位数字之和 |
2 |
4 |
8 |
11 |
13 |
5) 你有 1 到 11 的数字，但不一定按顺序排列。前九个数字的乘积是 441,760。最后两个数字的和是 19。最后两个数字是什么？
6) 肯肯拼图中的乘积笼的目标数字分别为 35、80、99、96 和 100。其中哪些数字可以被 5 整除？哪些数字可以被 6 整除？哪些数字可以被 9 整除？哪些数字可以被 11 整除？
7) 以下数字可以被 11 整除：A343, B15060, C22701, D030。A、B、C 和 D 分别是多少？
8) 2313E 可以被 6 整除。E 是多少？
9) 如果一个数字的末三位组成的数字可以被 8 整除，则该数字可以被 8 整除。以下哪些数字可以被 8 整除：（a）12,001, (b) 24,007, (c) 11,022, (d) 456,008, (e) 456,012.
10) 如果将一个数字的末位数字乘以 2，然后从该数字的其余部分减去，结果为 0 或可以被 7 整除，则该数字可以被 7 整除。利用这个规则判断以下哪些数字可以被 7 整除：（a）842, (b) 231, (c) 7078.
11) 反思你在这次探索中所学到的东西。写下你学到的一些东西。
答案
1) 可以被 5 整除的数字的末位数字是 5 或 0。
2) 各位数字之和是 9 的倍数。
3) 各位数字之和是 3 的倍数，且末位数字为偶数。
4) 偶数位数字之和与奇数位数字之和的差是 11 的倍数或 0。
5) 观察最后两个数字的和为 19，我们可以得出结论，11 + 8 和 10 + 9 这两种可能性都会得到 19 的和。我们知道其余数字的乘积是 441,760。让我们看看 11 是否是 441,760 的因子。
显然，我们可以尝试用 11 除 441,760。但是，有一个更简单的方法来判断 11 是否是 441760 的因子。这涉及使用一个叫做“11 的可除性规则”的规则。
从第一个数字开始，将所有隔一个数字的数字加起来得到 Sum_odd。然后，将剩下的数字加起来得到 Sum_even。求 Sum_odd 和 Sum_even 之差（Sum_odd - Sum_even 或 Sum_even - Sum_odd）。如果差值为 0 或 11 的倍数，则原始数字可以被 11 整除。
让我们计算 Sum_odd 和 Sum_even，看看441,760是否可以被 11 整除。
我们得到 Sum_odd = 4 + 1 + 6 = 11 和 Sum_even = 4 + 7 + 0 = 11。
因此，Sum_odd - Sum_even = 0。因此，441,760可以被 11 整除。如果 11 在前 9 个数字中，那么它一定不在最后两个数字中。正如我们之前讨论的那样，最后两个数字的唯一两种可能性是 (11, 8) 或 (10, 9)。因此，我们可以得出结论，这两个方格中的数字是 9 和 10。
所以，判断一个数字是否可以被 11 整除的步骤如下：
1. 将奇数位数字加起来。
2. 将偶数位数字加起来。
3. 从两个数字之和中较大的那个数字中减去较小的那个数字。如果你得到的数字可以被 11 整除，那么原始数字也可以被 11 整除。
6) 35、80 和 100 可以被 5 整除。96 可以被 6 整除。99 可以被 9 整除。99 可以被 11 整除。
7) A343 可以被 11 整除。因此，(A + 4) 和 3 + 3 = 6 之差是 11 的倍数。如果 A + 4 = 6，则 A = 2。用类似的推理，我们发现 B 是 1，C 是 8，D 是 8。
8) 2313E 可以被 6 整除。因此，E 是偶数。此外，由于各位数字之和必须可以被 3 整除，所以 9 + E 可以被 3 整除。因此，E 必须是 3、6 或 9。由于 E 是偶数，所以 E 必须是 6。
9) 只有 456,008 可以被 8 整除。
10) 只有 231 可以被 7 整除。
关于肯肯乘积笼的推理涉及一组数字的乘法和除法。学习一些让我们能够快速进行乘法的技巧很有用。
练习
1) 你在下面的表格中观察到什么规律？
数字 |
乘积 |
2, 3, 5 |
30 |
2, 4, 5 |
40 |
2, 21 ,5 |
210 |
2, 28, 5 |
280 |
2, 18, 5 |
180 |
现在，根据你观察到的规律，尝试以下乘法。
2) 2 x 3 x 4 x 5
3) 2 x 3 x 4 x 5 x 6
4) 2 x 3 x 5 x 6
5) 2 x 2 x 3 x 5 x 5
6) 你在下面的表格中观察到什么规律？
数字 |
乘积 |
4, 3, 25 |
300 |
4, 4, 25 |
400 |
4, 21, 25 |
2100 |
4, 28, 25 |
2800 |
4, 18, 25 |
1800 |
答案
1) 为了寻找规律，观察每一行中的条目之间的相似之处，以及不同列之间的相似之处。我们观察到，乘积等于中间数字后面加一个 0。一般来说，如果我们有一个包含 2 和 5 的一系列数字的乘积，则执行以下操作：（a）将 2 和 5 替换为 10，（b）将剩余的数字相乘，（c）将乘积乘以 10。
因为用 10 乘法可以通过在数字末尾添加一个零来轻松完成，所以这种重新排序使我们能够更快地进行乘法。
2) 120
3) 720
4) 180
5) 300
6) 为了寻找规律，观察每一行中的条目之间的相似之处，以及不同列之间的相似之处。我们观察到，乘积等于中间数字后面加两个 0。一般来说，如果我们有一个包含 4 和 25 的一系列数字的乘积，则执行以下操作：（a）将 4 和 25 替换为 100，（b）将剩余的数字相乘，（c）将乘积乘以 100。因为用 100 乘法可以通过在数字末尾添加两个零来轻松完成，所以这种重新排序使我们能够更快地进行乘法。
以下是关于乘法技巧的更多探索
- 取几个偶数，比较以下结果
- 用 5 乘以后得到的乘积
- 将该数字除以 2，然后乘以 10 所得到的结果。
将你的结果整理成一个列表。结果相同吗？为什么？哪种方法更容易获得答案？
- 取几个可以被 4 整除的数字，比较以下结果
- 用 25 乘以后得到的乘积
- 将该数字除以 4，然后乘以 100 所得到的结果。
将你的结果整理成一个列表。结果相同吗？为什么？哪种方法更容易获得答案？
- 取几个数字，比较以下结果
- 用 9 乘以后得到的乘积
- 将该数字乘以 10，然后减去原始数字所得到的结果。
将你的结果整理成一个列表。结果相同吗？为什么？哪种方法更容易获得答案？
- 取几个数字，比较以下结果
- 用 15 乘以后得到的乘积
- 将该数字除以 2，然后将该数字乘以 30 所得到的结果。
将你的结果整理成一个列表。结果相同吗？为什么？哪种方法更容易获得答案？
- 反思你在这次探索中所学到的东西。写下你学到的一些东西。
确定一个有两个方格的笼子中填入的数字，需要找到一对因子，它们的乘积是给定的目标值。
寻找给定数字因子的步骤如下：
- 从 1 开始，用 1 到拼图中允许的最大数字之间的每个数字除以给定数字。
- 如果数字能够除尽，且没有余数，那么你找到了一对因子。
- 将你的除法中的除数和商列为一对因子。
- 继续除法，直到因子对重复。
练习
1) 找到 12 的因子对。
2) 找到 20 的因子对。
3) 找到 25 的因子对。
4) 找到 36 的因子对。
5) 找到 49 的因子对。
6) 找到 50 的因子对。
7) 找到小于 100 且因子数量为奇数的数字。
8) 反思你在这次探索中所学到的东西。写下你学到的一些东西。
答案
1)
|
数字 |
除法 |
因子对 |
|
1 |
12 / 1 = 12 |
1, 12 |
|
2 |
12 / 2 = 6 |
2, 6 |
|
3 |
12 / 3 = 4 |
3, 4 |
|
4 |
12 / 4 = 3 |
重复的因子对 |
12 的因子对是 (1, 12), (2, 6) 和 (3, 4)。
2)
|
数字 |
除法 |
因子对 |
|
1 |
20 / 1 = 20 |
1, 20 |
|
2 |
20 / 2 = 10 |
2, 10 |
|
3 |
不能被整除 |
|
|
4 |
20 / 4 = 5 |
4, 5 |
|
5 |
20 / 5 = 4 |
重复的因子对 |
20 的因子对是 (1, 20), (2, 10) 和 (4, 5)。
3) 25 的因子对是 (1, 25) 和 (5, 5)。
4) 36 的因子对是 (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9) 和 (6, 6)。
5) 49 的因子对是 (1, 49) 和 (7, 7)。
6) 50 的因子对是 (1, 50), (2, 25) 和 (5, 10)。
7) 尝试 1 到 10 之间的数字。我们发现有奇数个因子的数字是 1、4 和 9。寻找规律。这些是平方数。这是因为平方数有一个因子对，其中两个数字相同，而其他因子对则有两个不同的数字。小于 100 且有奇数个因子的数字是 1、4、9、16、25、36、49、64 和 81。
寻找因子三元组的步骤
- 首先，找到给定数字的所有因子对。
- 现在，对于每个因子对，找到第二个因子的因子对。用相应的因子对替换该因子。
- 删除任何重复的因子三元组。
例如
对于 12，我们有以下因子对 (1) 1, 12 (2) 2, 6 (3) 3, 4
当我们用它的因子对替换 12 时，我们将得到
1, 1, 12
1, 2, 6
1, 3, 4
当我们用它的因子对替换 6 时，我们将得到
2, 1, 6
2, 2, 3
当我们用它的因子对替换 4 时，我们将得到
3, 1, 4
3, 2, 2
我们删除重复项，得到
1, 1, 12
1, 2, 6
1, 3, 4
2, 2, 3
练习
1) 找到 15、45 和 36 的所有因子。
为了确保你找到了所有的因子，知道一个数字有多少个因子会很有用。
2) 1 的因子数为 1。10 的因子数为 4。100 的因子数为 9。1000 的因子数为 16。识别模式。10,000 有多少个因子？
3) 找到 15 的所有因子对和因子三元组。
4) 找到 12、16 和 18 的所有因子三元组。
解答
1) 15 的因子是 1、3、5 和 15。45 的因子是 1、5、3、15、9 和 45。36 的因子是 1、2、4、3、6、12、9、18 和 36。
2)
10,000 has 25 factors.
3) 15 的因子对和因子三元组是 (1, 15)、(3, 5)、(1, 1, 15)、(1, 3, 5)
4) 12 的因子三元组是 (1, 1, 12)、(1, 2, 6)、(1, 3, 4)、(2, 2, 3)
16 的因子三元组是 (1, 2, 8)、(1, 1, 16)、(1, 4, 4)、(2, 2, 4)
18 的因子三元组是 (1, 1, 18)、(1, 2, 9)、(1, 3, 6)、(2, 3, 3)
相关谜题：杀手数独、肯肯
让我们考虑以下 3x3 肯肯谜题。
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
提示
A1 * B1 = 6
A2 和 A3 之差为 1
C1 和 C2 之差为 1
B2 + B3 + C3 = 7
找出 A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2 和 C3 是什么。
可以这样推理这个谜题。数字 2 和 3 将是唯一可以放在 6x 中的数字。左下角必须有 1，因为 2 和 3 在同一列的 6x 格中。中间下面的方块必须是 2，因为它在目标为 1- 的格中，而左下角的方块是 1。右下角必须是 3，因为左下角的方块是 1，而中间下面的方块是 2。由于右下角的方块是 3，因此 7+ 格中的剩余方块必须加起来等于 4。因此，7+ 格中的中间行中间和右边的方块必须是 3 和 1。由于 1、2 和 3 必须在中间行，因此中间行的左边的方块必须是 2。现在，我们可以得出结论，顶行的左、中和右方块必须是 3、1 和 2。
回顾和反思解决方案通常有助于获得关于问题解决方法的进一步见解。在上述问题中，一开始就知道 6x 格有 2 和 3 是有帮助的，即使我们不知道顺序。通常，识别出有唯一解的格是有用的。我们将在本章中进一步探讨这一点。
现在，考虑以下问题
20x20 肯肯谜题中哪些有两个方块的目标和的格具有唯一解？
虽然你可能能够想到一个或两个这样的格，但要确保所有这样的格都比较难。一般来说，如果我们有一个难题，进行探索并从探索中获得见解是有用的。在这里，我们将考虑以下问题，它是一个更简单的版本。
4x4 肯肯谜题中哪些有两个方块的目标和的格具有唯一解？
这里一个好的策略是创建一个可能的两个方块格的表格。
要创建表格，请执行以下操作
- 识别相关数量。
- 理解这些数量之间的关系。
- 理解结果与这些数量之间的关系。
- 理解这些数量可以取的可能值，并创建这些值的排序列表。
- 从一个数量的第一个值开始，通过从低到高改变其他数量的值，创建所有与该数量对应的行。
- 一旦你完成了创建所有与该行的可能值对应的行，考虑该数量的下一个可能值，并创建相应的行。继续直到你完成所有该数量的可能值的考虑。
- 对于表格中的每一行，计算结果。
练习
- 创建一个表格，列出两个不同数字的所有可能和，其中每个数字可以是 1、2、3 或 4。表格的第一列应为较小的数字，第二列应为较大的数字。
- 在该表格中，识别出只有一对数字才能相加得到目标和的和。
- 创建一个表格，列出两个不同数字的所有可能和，其中每个数字可以是 1、2、3、4 或 5。表格的第一列应为较大的数字，第二列应为较小的数字。
- 在您在先前问题中创建的表格中，识别出只有一对数字才能相加得到目标和的和。
- 创建一个表格，列出两个不同数字的所有可能和，其中每个数字可以是 1、2、3、4、5 或 6。表格的第一列应为较大的数字，第二列应为较小的数字。
- 在您在先前问题中创建的表格中，识别出只有一对数字才能相加得到目标和的和。
- 创建一个表格，列出两个不同数字的所有可能和，其中每个数字可以是 1、2、3、4、5、6 或 7。表格的第一列应为较大的数字，第二列应为较小的数字。
- 在您在先前问题中创建的表格中，识别出只有一对数字才能相加得到目标和的和。
- 识别以下表格中的模式。
谜题尺寸 |
具有唯一解的两个方块目标 |
4x4 |
2, 3, 6, 7 |
5x5 |
2, 3, 8, 9 |
6x6 |
2, 3, 10, 11 |
7x7 |
2, 3, 12, 13 |
- 10x10 肯肯谜题中有哪些两个方块目标和的格具有唯一解？
- 11x11 肯肯谜题中有哪些两个方块目标和的格具有唯一解？
- 12x12 肯肯谜题中有哪些两个方块目标和的格具有唯一解？
- 13x13 肯肯谜题中有哪些两个方块目标和的格具有唯一解？
- 14x14 肯肯谜题中有哪些两个方块目标和的格具有唯一解？
- 检查 5x5、6x6 和 7x7 肯肯谜题中三个方块的行列格的目标和。哪些格具有唯一解？
- 你能识别出与肯肯谜题尺寸和具有唯一解的目标和之间的模式吗？
- 你能识别出 12x12 肯肯谜题中三个方块的行列格的目标和，这些目标和具有唯一解吗？
现在，考虑以下所示的三个方块的 L 形谜题，让我们研究目标和具有唯一解的格。在这个格中，顶行的 (1, 2) 和底部的 3 被视为不同于顶行的 (1, 3) 和底部的 2。
18) 4x4 肯肯谜题中 L 形三个格的目标和中哪些具有唯一解？
19) 5x5 肯肯谜题中 L 形三个格的目标和中哪些具有唯一解？
20) 6x6 肯肯谜题中 L 形三个格的目标和中哪些具有唯一解？
21) 7x7 肯肯谜题中 L 形三个格的目标和中哪些具有唯一解？
22) 你可以在以下表格中识别出哪些模式，该表格列出了三个方块的 L 形格的目标和，这些目标和具有唯一解？
|
谜题尺寸 |
具有唯一解的目标 solutions |
|
4x4 |
4, 5, 10, 11 |
|
5x5 |
4, 5, 13, 14 |
|
6x6 |
4, 5, 16, 17 |
|
7x7 |
4, 5, 19, 20 |
23) 找出 12x12 和 13x13 肯肯谜题中三个方块的 L 形格的目标和，这些目标和具有唯一解。
24) 识别以下具有唯一解的乘积目标中的模式：3、5、7、11、13。
25) 创建一个可能的数字表格，以确定 4x4 肯肯谜题中具有唯一解的减号目标数字。
26) 创建一个可能的数字表格，以确定 5x5 肯肯谜题中具有唯一解的减号目标数字。
27) 创建一个可能的数字表格，以确定 6x6 肯肯谜题中具有唯一解的减号目标数字。
28) 你能识别出与肯肯谜题尺寸和谜题中具有唯一解的减号目标之间的模式吗？
29) 创建一个可能的数字表格，以确定 4x4 肯肯谜题中具有唯一解的两个方块格的除号目标数字。
30) 创建一个包含所有可能数字的表格，用于确定 5x5 肯肯游戏中，保证唯一解的除法目标数字。
31) 创建一个包含所有可能数字的表格，用于确定 6x6 肯肯游戏中，保证唯一解的除法目标数字。
32) 你能发现肯肯谜题的大小和保证唯一解的谜题中的除法目标数字之间的关系吗？
33) 在以下表格中，列出了具有唯一解的乘积目标和相关的谜题大小，你能看到哪些模式？
大小 |
乘积 目标 |
3 |
2, 3 |
4 |
2, 3 |
5 |
2, 3, 5 |
6 |
2, 3, 5 |
7 |
2, 3, 5, 7 |
11 |
2, 3, 5, 7, 11 |
14 |
3, 5, 7, 11, 13 |
34) 在以下表格中识别出保证唯一解的乘积目标之间的模式。
|
大小 |
乘积 Targets with Unique Solutions
|
|
3 |
6 |
|
4 |
6 |
|
5 |
6,10, 15 |
|
6 |
6, 10, 15 |
|
12 |
15, 21, 22, 26, 33, 35, 55, and 77 |
解答
1) 让我们使用本章中描述的步骤来创建一个表格。我们的两列可以是两个数字中较小的那个和较大的那个。我们知道我们要关注的结果是这些数量的总和。这些数字可以取的可能值是 1、2、3 和 4。列表为 [1, 2, 3, 4]。我们可以从较小的数字为 1 开始，并考虑以下可能性：(1, 2)、(1, 3) 和 (1, 4)。然后，我们可以考虑较小的数字为 2 的可能性。这里，我们将考虑 (2, 3) 和 (2, 4) 的可能性。最后，我们将较小的数字设为 3，并计算总和为 7。现在，我们计算每一行中数量的总和。
|
较小 Number |
较大的数字 |
各位数字之和 |
1 |
2 |
3 |
1 |
3 |
4 |
1 |
4 |
5 |
2 |
3 |
5 |
2 |
4 |
6 |
3 |
4 |
7 |
2) 检查 4x4 肯肯的表格，我们可以发现 3+、4+、6+ 和 7+ 是唯一与一个数字对相关联的目标。
3) 留给学生创建表格。
4) 检查 5x5 肯肯的表格，我们可以发现 3+、4+、8+ 和 9+ 是唯一与一个数字对相关联的目标。
5) 留给学生创建表格。
6) 检查 6x6 肯肯的表格，我们可以发现 3+、4+、10+ 和 11+ 是唯一与一个数字对相关联的目标。
7) 留给学生创建表格。
8) 检查 7x7 肯肯的表格，我们可以发现 3+、4+、12+ 和 13+ 是唯一与一个数字对相关联的目标。
9) 让我们检查以下表格中的模式。
|
谜题 size |
两个方格目标 有 unique solutions |
4x4 |
3, 4, 6, 7 |
5x5 |
3 ,4, 8, 9 |
6x6 |
3, 4,10, 11 |
7x7 |
3, 4, 12, 13 |
你在这里的数字中看到模式了吗？寻找模式的一种策略是查看连续行之间有什么共同点。首先，3 和 4 对于所有这些都是通用的。现在，让我们检查这些行中最大的目标数字：7、9、11、13。
在寻找模式时，另一种策略是寻找差异。
这里连续数字之间的差异结果是 2。啊哈！因此，这些数字都增加了 2。有两种模式：连续数字之间的模式和两列条目之间的模式。两种类型数量之间另一种可能的模式是，一种是另一种数量的倍数。在这里，我们可以尝试将第一列中的数字加倍，我们发现结果接近第二列中我们拥有的数字，但少了一个。我们注意到
7 = 2 * 4 - 1 (* 表示“乘以”。)
9 = 2* 5 - 1.
11 = 2 * 6 -1.
13 = 2 * 7 -1.
我们可以将此概括为以下假设
我们只能创建一个数字对，可以在 n * n 肯肯谜题中创建一个 2 * n - 1 的总和。
通常，用更多示例验证给定假设是一个好主意。在这里，如果我们可以检查 8x8 和 9x9 肯肯谜题中的总和，我们会发现这个假设确实成立。
现在，让我们检查导致最大可能唯一总和的数字对。
|
谜题 size |
最大 sum target with unique solution and associated numbers |
|
4x4 |
7 = 3 + 4 |
|
5x5 |
9 = 4 + 5 |
|
6x6 |
11 = 5 + 6 |
|
7x7 |
13 = 6 + 7 |
观察连续行之间的差异，我们会发现数字从一行到下一行增加了 1。此外，对于 n * n 肯肯谜题，这些数字是 n 和 n - 1。现在，让我们看看是否可以创建一个逻辑解释，说明为什么目标 2n - 1 将有一个唯一的解决方案。如果两个数字中的一个是小于 (n - 1) 的，那么另一个数字必须大于 n 才能使总和为 2n - 1。但是，我们不能在总和中使用大于 n 的数字。因此，我们不能使其中一个数字小于 (n - 1)。此外，我们不能使用大于 n 的数字。因此，我们唯一可以用来创建 2n - 1 总和的数字是 n 和 n -1。
类似地，可以注意到，在我们迄今为止识别的第二大目标数字之间存在一个模式
|
谜题尺寸 |
第二大 target with unique solution
|
4x4 |
6 |
5x5 |
8 |
6x6 |
10 |
7x7 |
12 |
你能在这里识别出模式吗？你能对观察到的模式提供一个逻辑解释吗？
同样，在寻找模式时，一种可能的策略是寻找差异。这里连续数字之间的差异结果是 2。因此，这些数字都增加了 2。我们注意到的另一个模式是
7 = 2 * 4 - 2.
9 = 2* 5 - 2.
11 = 2 * 6 - 2.
13 = 2 * 7 - 2.
我们在这里的观察结果如下
我们只能创建一个数字对，可以在 n * n 肯肯谜题中创建一个 2 * n - 2 的总和。总的来说，具有唯一解的 n * n 肯肯谜题的目标总和是 3、4、2n - 2 和 2n -1。
10) 3、4、18、19 是 10 x 10 肯肯谜题中的目标总和，这些谜题有唯一解。
11) 3、4、20、21 是 11 x 11 肯肯谜题中的目标总和，这些谜题有唯一解。
12) 3、4、22、23 是 12 x 12 肯肯谜题中的目标总和，这些谜题有唯一解。
13) 3、4、24、25 是 13 x 13 肯肯谜题中的目标总和，这些谜题有唯一解。
14) 3、4、26、27 是 14 x 14 肯肯谜题中的目标总和，这些谜题有唯一解。
15) 在 5x5 肯肯中，具有唯一总和的三个方格线性行笼的目标是 6、7、11 和 12。在 6x6 肯肯中，目标是 6、7、14 和 15。在 7x7 肯肯中，目标是 6、7、17 和 18。
16) 模式：唯一的目标总和是 6、7 以及 3n - 4 和 3n - 3。
17) 具有唯一总和的 12x12 肯肯中的目标是 6、7、32 和 33。
18) 4, 5, 10, 11
19) 4, 5, 13, 14
20) 4, 5, 16, 17
21) 4, 5, 19, 20
22) 具有三个方格 T 目标 4、5 以及 3n - 1、3n - 2 的 n x n 肯肯谜题将具有唯一解。
23) 4、5、34、35 是在 12x12 肯肯中具有唯一解的三个方格 T 笼的目标总和。4、5、37、38 是在 13x13 肯肯中具有唯一解的三个方格 T 笼的目标总和。
24) 这些是质数。
25) 在 4x4 肯肯中，目标是 3。
26) 在 5x5 肯肯中，目标是 4。
27) 在 6x6 肯肯中，目标是 5。
28) 在 n x n 肯肯中，目标是 n - 1。
29) 4 和 3 是 4x4 肯肯中保证唯一解的除法目标数字。
30) 5、4 和 3 是 5x5 肯肯中保证唯一解的除法目标数字。
31) 6、5 和 4 是 6x6 肯肯中保证唯一解的除法目标数字。
32) 对于 n x n 肯肯谜题，所有大于 n/2 且小于或等于 n 的数字都是保证唯一解的除法目标数字。
33) 第二列都是小于肯肯谜题大小的质数。
34) 这些数字大于任何笼子中允许的最大数字，并且这些数字是两个质数的乘积。
相关谜题：数独、数独变种、肯肯
给定一个情况，可以使用逻辑推理来识别以下内容：什么必须为真？什么必须为假？什么可能为真也可能为假？
现在，考虑以下问题
三个方格行笼是下面所示的笼子。
6x6 肯肯谜题中的一个三个方格行笼的目标是 13+。你能说出笼子中必须有哪个数字，以及哪些数字一定不在笼子里吗？
这里，数字 2、3、4 和 5 可能在那里也可能不在那里。例如
6 + 4 + 3 = 12.
6 + 5 + 2 = 12.
我们有一个目标总和的示例，其中 5 是笼子中的一个数字，我们还有一个目标总和的示例，其中 5 不是笼子中的一个数字。因此，5 可能在那里也可能不在那里。现在，我们将讨论一种可能的方法，该方法允许我们得出结论，即某些数字必须在那里，或者某些数字一定不在那里。
反证法示例 1
我们声称 6 一定在那里。
为了证明这一点，我们将展示如果我们假设 6 不在那里会发生什么。
如果 6 不在那里，三个数字可能的最大总和是 5 + 4 + 3 = 12。
但是，目标总和大于 12。
因此，我们遇到了一个不可能的情况。
我们假设的必须是假的。
因此，6 一定在那里。
反证法示例 2
我们声称 1 一定不在那里。
为了证明这一点，我们将展示如果我们假设 1 在那里会发生什么。
如果 1 在那里，剩余数字中最大的数字将是 6 和 5。然后，三个数字可能的最大总和是 6 + 5 + 1 = 12。
但是，目标大于 12。
因此，我们遇到了一个不可能的情况。
我们假设的必须是假的。
因此，1 一定不在那里。
反证法的通用步骤
我们要证明 X 为真。
为了证明这一点，我们将展示如果我们假设 X 不为真会发生什么。
如果 X 不为真，逻辑推理会导致不可能的情况。
因此，我们假设的必须是错误的。
因此，X 必须为真。
这种推理方法称为“反证法”。
练习
考虑以下挑战问题
我们在 12 x 12 的数独中有一个五格的横排笼子，目标总和为 17。我们可以对笼子中可能的数字得出什么结论？哪些数字必须存在？哪些数字必须不存在？
我们将进行探索性研究以了解这类问题，以便我们能够在这个问题上取得进展。
1) 对于 6x6 数独中一个三格的横排笼子，目标总和为 6 到 15，你能对可能的数字说些什么？
2) 对于 20x20 数独中一个三格的横排笼子，目标总和为 8，最大的可能数字是多少？
3) 对于 20x20 数独中一个三格的横排笼子，目标总和为 49，最小的可能数字是多少？
4) 对于 11x11 数独中一个四格的横排笼子，目标总和为 35，最小的可能数字是多少？
5) 对于 20x20 数独中一个四格的横排笼子，目标总和为 11，最大的可能数字是多少？
6) 在 12x12 的数独中，对于目标总和为：6、7、8、9、10、29、30、31、32、33 的三格横排笼子，你能对可能的数字说些什么？哪些数字必须存在？哪些数字不能存在？哪些数字可能存在？
7) 识别下表中的模式。
|
数字 allowed |
使用三个不同的数字 可能的最大总和 |
|
1, 2, 3, 4 |
9 |
|
1, 2, 3, 4, 5 |
12 |
|
1, 2, 3, 4, 5, 6 |
15 |
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
18 |
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 |
21 |
8) 如果你可以使用 1 到 100 的任何数字，你能说出使用三个不同的数字的可能的最大总和是多少吗？
9) 识别下表中的模式。
|
数字 allowed |
最小 sum possible 可能的最大总和 |
|
3 和更高 |
12 |
|
4 和 higher |
15 |
|
5 和 higher |
18 |
|
6 和 higher |
21 |
|
7 和 higher |
24 |
10) 使用三个不同的数字，这些数字都大于或等于 11，最小的可能总和是多少？
11) 使用三个不同的数字，这些数字都大于或等于 20，最小的可能总和是多少？
12) 使用三个不同的数字，这些数字都大于或等于 100，最小的可能总和是多少？
13) 你能确定 10x10 数独中一个三格的横排笼子，目标为 8 的最大可能数字吗？
14) 你能确定 10x10 数独中一个三格的横排笼子，目标为 9 的最大可能数字吗？
15) 在以下表格中找到模式。
|
目标 sum of a 3 square row cage
|
10 |
11 |
12 |
13 |
|
可能的最大数字 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16) 如果目标总和为 22，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是多少？
17) 如果目标总和为 23，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是多少？
18) 如果目标总和为 24，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是多少？
19) 如果目标总和为 25，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是多少？
20) 你能识别下表中的模式吗？
三个格线性笼子的目标总和 格线性笼子 |
26 |
27 |
28 |
29 |
10x10 数独的最小可能数字 |
7 |
8 |
9 |
10 |
21) 对于 10x10 数独中一个三格线性笼子的目标总和为 29，识别下表中的模式。
|
大小 of puzzle |
13x13 |
12x12 |
11x11 |
|
最小可能数字 |
4 |
6 |
8 |
22) 在 14x14 数独中，目标总和为 29 的最小可能数字是多少？
23) 对于一个目标总和为 11 的四格线性笼子，最大的可能数字是多少？给出你的理由。
24) 对于一个目标总和为 12 的四格线性笼子，最大的可能数字是多少？给出你的理由。
25) 对于一个目标总和为 13 的四格线性笼子，最大的可能数字是多少？给出你的理由。
26) 识别下表中的模式
|
目标 sum in linear four-square cage
|
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
可能的最大数字 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
27) 对于 11x11 中一个目标总和为 34 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
28) 对于 11x11 中一个目标总和为 35 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
29) 对于 11x11 中一个目标总和为 36 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
30) 对于 11x11 中一个目标总和为 37 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
31) 对于 12x12 中一个目标总和为 34 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
32) 对于 12x12 中一个目标总和为 35 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
33) 对于 12x12 中一个目标总和为 36 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
34) 对于 12x12 中一个目标总和为 37 的四格横排笼子，最小的可能数字是多少？
35) 识别以下表格中的模式。
|
大小 |
12 |
12 |
12 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
14 |
14 |
14 |
|
目标 |
38 |
39 |
40 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
40 |
41 |
42 |
最小 的可能数字 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
36) 反思你在这次探索中学到的东西。写下你学到的一些东西。
答案
(1)
6x6 数独中三格线性笼子的目标总和 |
必须存在 |
必须不存在 |
可能存在 |
6 |
1, 2, 3 |
4, 5, 6 |
|
7 |
1, 2, 4 |
3, 5, 6 |
|
8 |
1 |
6 |
2, 3, 4, 5 |
9 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 | ||
10 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 | ||
11 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 | ||
12 |
1, 2, 3 ,4, 5, 6 | ||
13 |
6 |
1 |
2, 3, 4, 5 |
14 |
3, 5, 6 |
1, 2, 4 |
|
15 |
4, 5, 6 |
1, 2, 3 |
2) 对于 20x20 数独中一个三格笼子的目标总和为 8，5 是最大的可能数字。
3) 对于 20x20 数独中一个三格笼子的目标总和为 49，10 是最小的可能数字。
4) 对于 11x11 数独中一个四格横排笼子的目标总和为 35，5 是最小的可能数字。
5) 对于 20x20 数独中一个四格横排笼子的目标总和为 11，5 是最大的可能数字。
6)
12x12 数独中三格线性笼子的目标总和 |
必须存在 |
必须不存在 |
可能存在 |
6 |
1, 2, 3 |
4 和更高 |
|
7 |
1, 2, 4 |
3、5 和更高 |
|
8 |
1 |
6 和更高 |
2, 3, 4, 5 |
9 |
7 和更高 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 | |
10 |
8 和更高 |
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | |
29 |
5 或更小 |
6 或更高 | |
30 |
6 或更小 |
7 或更高 | |
31 |
12 |
7 或更小 |
8, 9, 10, 11 |
32 |
9, 11, 12 |
10、8 或更小 |
|
33 |
10,11,12 |
9 或更小 |
7) 以下是一些寻找差异的策略
比较连续的行，寻找相似之处。
比较连续的行，寻找差异。
查看连续数字之间的差异，并在差异中寻找模式。
表格中的模式包括以下内容
- 总和都是 3 的倍数。
- 允许的数字从一行到下一行增加一个数字。
- 总和在每行连续增加 3。
- 最大总和是三个最大数字的总和。
- 最大总和是 3 x（最大数字 - 3）。
- 最大总和是第二大数字的 3 倍。
8) 根据我们在上一个问题的分析中观察到的模式，我们预计使用 1 到 100 的数字，可能的最大总和将是 297。原因是可能的最大总和将是最大的三个数字，即 98、99 和 100。因此，这个总和将是 98 + 99 + 100 = 297。
9) 以下是一些寻找差异的策略
比较连续的行，寻找相似之处。
比较连续的行，寻找差异。
查看连续数字之间的差异，并在差异中寻找模式。
表格中的模式包括以下内容
总和都是 3 的倍数。
允许的数字从一行到下一行增加一个数字。
总和在每行连续增加 3。
最小总和是三个最小数字的总和。
最小总和是三个最小数字的总和 + 3。
最小总和是第二小数字的 3 倍。
10) 使用三个不同的数字，这些数字都大于或等于 11，最小的可能总和是 36。
11) 使用三个不同的数字，这些数字都大于或等于 20，最小的可能总和是 63。
12) 使用三个不同的数字，这些数字都大于或等于 100，最小的可能总和是 303。
13) 10x10 数独中一个三格横排笼子，目标为 8 的最大可能数字是 5。
14) 10x10 数独中一个三格横排笼子，目标为 9 的最大可能数字是 6。
15) 模式包括以下内容
连续列中的数字增加 1。
一种策略是查看两列值的差异。在这里，我们发现差异始终是 3。因此，另一个相关的模式是：
可能的最大数字是目标总和减 3。
解释这种模式的一种方法如下。当我们使用可能的最大数字时，其余两个数字的总和将是最小的可能总和。我们用两个不同的数字可以创建的最小总和将是 1 和 2 的总和，即 3。因此，笼子中可以使用 的最大可能数字是目标总和减 3。
16) 如果目标总和为 22，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是 3。
17) 如果目标总和为 23，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是 4。
18) 如果目标总和为 24，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是 5。
19) 如果目标总和为 25，10x10 数独中一个三格笼子的最小可能数字是 6。
20) 模式：最小可能数字 = 目标总和 - 19
21) 模式
谜题的大小在连续列中减小 1。
最小数字在连续列中增加 1。
对于 m * m 数独中目标总和为 x 的三格笼子，如果这个数字为正，则最小可能数字是 x - m - (m - 1)。
22) 使用上面的模式，我们得出结论是 2。
23) 对于一个目标总和为 11 的四格线性笼子，5 是最大的可能数字。最大的可能数字将对应于剩余三个数字创建的最小总和。三个数字可以创建的最小总和将是 1 + 2 + 3 = 6。因此，最大的可能数字将是 11 - 6 = 5。
24) 对于一个目标总和为 12 的四格线性笼子，6 是最大的可能数字。给出你的理由。最大的可能数字将对应于剩余三个数字创建的最小总和。三个数字可以创建的最小总和将是 1 + 2 + 3 = 6。因此，最大的可能数字将是 12 - 6 = 6。
25) 对于一个目标总和为 13 的四格线性笼子，7 是最大的可能数字。给出你的理由。最大的可能数字将对应于剩余三个数字创建的最小总和。三个数字可以创建的最小总和将是 1 + 2 + 3 = 6。因此，最大的可能数字将是 13 - 6 = 7。
26) 识别下表中的模式
四格线性笼子的目标总和 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
可能的最大数字 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
在一个线性四格笼中，最大的可能数字是 T - 6，其中 T 是目标总和。这种模式可以解释如下。最大的可能数字对应于其余三个数字产生的最小总和。三个数字可以产生的最小总和是 1 + 2 + 3 = 6。因此，最大的可能数字是 T - 6。
27) 对于一个目标总和为 34 的 11x11 四格行笼，最小的可能数字是 4。
28) 对于一个目标总和为 35 的 11x11 四格行笼，最小的可能数字是 5。
29) 对于一个目标总和为 36 的 11x11 四格行笼，最小的可能数字是 6。
30) 对于一个目标总和为 37 的 11x11 四格行笼，最小的可能数字是 7。
31) 对于一个目标总和为 34 的 12x12 四格行笼，最小的可能数字是 1。
32) 对于一个目标总和为 35 的 12x12 四格行笼，最小的可能数字是 2。
33) 对于一个目标总和为 36 的 12x12 四格行笼，最小的可能数字是 3。
34) 对于一个目标总和为 37 的 12x12 四格行笼，最小的可能数字是 4。
35) 表格中存在多种模式。
最小的可能数字 = 目标 - 3 * (尺寸 -1)
|
大小 |
12 |
12 |
12 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
14 |
14 |
14 |
|
目标 |
38 |
39 |
40 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
40 |
41 |
42 |
|
最小 的可能数字 |
5 |
6 |
7 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
这也可以写成以下形式
最小的可能数字是 T - L，如果 L 是用三个数字可以组成的最大总和。
逻辑图表探索
[edit | edit source]练习
- Max，Yao 和 Naz 分别坐在 A，B 和 C 座位上。Max 不坐在 B 座位上。Yao 坐在 A 座位上。每个人坐在哪里？
- 考虑下面列出的 6x6 KenKen 谜题中的两行。你能确定哪个数字会进入目标为 2/ 的笼子吗？
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |
A |
18x |
??? |
??? |
??? |
??? |
15x |
|
B |
2/ |
|||||
解答
1) 对于某些类型的谜题，图形化表示有助于理解线索的描述。在问题 1 中描述的谜题中，一个捕获人与座位之间所有关联的表示形式很有用。这种类型的表示形式如下所示。这被称为逻辑网格。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
|||
|
Yao |
|||
|
Naz |
现在让我们检查一下如何使用这种逻辑图表来解释每条线索。我们被告知 Yao 先生坐在 A 座位上。当你阅读每条线索时，划掉与线索不一致的方格。例如，一句话告诉你 Yao 先生坐在 A 座位上，你就可以确定他没有坐在 B 或 C 座位上。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
|||
|
Yao |
Yes |
X |
X |
|
Naz |
一旦你确定 Yao 先生坐在 A 座位上；那么你就可以排除任何其他人坐在 A 座位上的可能性。正如你所看到的，这确实缩小了选择范围，并帮助你朝着解决方案努力。
因此，图表如下所示。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
X |
||
|
Yao |
Yes |
X |
X |
|
Naz |
X |
现在，让我们在这个表中表示第二条线索。Max 不坐在 B 座位上。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
X |
X |
|
|
Yao |
Yes |
X |
X |
|
Naz |
X |
如果我们知道 Max 坐在三个座位中的一个，并且我们已经推断出他不能坐在三个座位中的两个，那么 Max 必须坐在剩下的座位上。因此，在这种情况下，我们可以推断出 Max 坐在 C 座位上。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
X |
X |
Yes |
|
Yao |
Yes |
X |
X |
|
Naz |
X |
如果我们知道 Max 坐在 C 座位上，那么 Yao 或 Naz 就不能坐在 C 座位上。让我们将此信息添加到我们的逻辑图表中。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
X |
X |
Yes |
|
Yao |
Yes |
X |
X |
|
Naz |
X |
X |
如果我们知道 Yao 坐在三个座位中的一个，并且我们已经推断出他不能坐在三个座位中的两个，那么 Naz 必须坐在剩下的座位上。因此，在这种情况下，我们可以推断出 Naz 坐在 B 座位上。现在，让我们将此信息添加到我们的逻辑图表中。
|
座位 A |
座位 B |
座位 C | |
|
Max |
X |
X |
Yes |
|
Yao |
Yes |
X |
X |
|
Naz |
X |
Yes |
X |
现在，我们已经用“Yes”或“X”填充了逻辑图表中的所有条目。因此，我们已经解决了谜题。我们知道 Max 坐在 C 座位上。Yao 坐在 A 座位上，Naz 坐在 B 座位上。
2) 让我们检查一下 1 到 6 之间满足 2/ 约束的数字对。
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |
A |
18x |
??? |
??? |
??? |
??? |
15x |
|
B |
2/ |
|||||
我们发现 (6, 3), (4, 2) 和 (2, 1) 这对数字都可以满足 2/ 约束。因此，1、2、3、4 或 6 中的任何数字都可以作为底行中的第三或第四个方格。现在，让我们检查一下哪些三元组可以满足 18x 约束。我们发现 <3, 2, 3> 和 <6, 3, 1> 可以满足 18x 约束。因此，1、2、3 或 6 中的任何数字都可以作为底行的第一个或第二个方格。类似地，<5, 3, 1> 可以满足 15x 约束。因此，数字 1、3、5 可能出现在底行的第五或第六个方格中。
以下是我们的逻辑谜题线索
|
笼子 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
18x |
可能 |
可能 |
可能 |
可能 | ||
|
2/ |
可能 |
可能 |
可能 |
可能 |
可能 | |
|
15x |
可能 |
可能 |
可能 |
由于 4 必须出现在一个方格中，而只有 2/ 笼子将其列为可能性，因此我们可以得出结论，4 必须在 2/ 笼子中。因此，2/ 笼子中必须有 2 和 4 作为数字。现在我们可以修改逻辑图表如下所示。
|
笼子 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
18x |
可能 |
可能 |
可能 |
可能 | ||
|
2/ |
可能 |
可能 |
||||
|
15x |
可能 |
可能 |
可能 |
由于 6 必须出现在一个方格中，而只有 18x 笼子将其列为可能性，因此我们可以得出结论，6 必须在 18x 笼子中。因此，18x 中的其他数字必须是 6、3 和 1。现在我们可以修改逻辑图表如下所示。
|
笼子 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
18x |
可能 |
可能 |
可能 | |||
|
2/ |
可能 |
可能 |
||||
|
15x |
可能 |
可能 |
可能 |
由此，我们可以得出以下结论
2/ 笼子中包含 2 和 4。18x 笼子中包含 1、3 和 6。15x 笼子中包含 1、3 和 5。
和与差的探索
[edit | edit source]考虑以下问题
我们有一组十个数字。在这组数字中，数字 1 到 10 每个数字都只出现一次，但并不一定按升序排列。前八个数字加起来是 45。最后两个数字的差是 2。最后两个数字是什么？
大多数学生试图解决这个问题的策略是“猜测和检查”。例如，他们可能会提出 (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 这样的组合，并发现剩余两个数字的差值不是 2。使用猜测和检查策略可能需要很长时间才能找到这个问题的解决方案。
我们可能认为我们陷入了困境。我们需要一些见解才能在问题上取得进展。在这种情况下，一种策略是简化问题或考虑一个类似的问题。
我们可以考虑在 6x6 谜题中了解类似的情况。考虑以下练习。
练习 1：查看图 1 中的具体示例，并确定其中的任何模式。
练习 1 的解决方案：人们可能会观察到各种模式。这些示例包括以下内容
- 当第五个数字增加 1 时，第一个笼子的目标总和也减少 1。
- 当第六个数字增加 1 时，第一个笼子的目标总和也减少 1。
- 第一个笼子的目标总和 = 21 - a - b，如果 a 和 b 是第五和第六个数字。
- 第五和第六个数字的总和 = 21 - 第一个笼子的目标总和。
- 当第一个笼子中的一个数字增加 1 且该笼子中的其他数字保持不变时，第二个笼子中的一个数字减少 1。
- 当第一个笼子中的一个数字增加 1 且该笼子中的其他数字保持不变时，该笼子的目标总和增加 1。
- 如果我们将第一个笼子中的一个数字增加 1，那么该笼子的目标总和就会增加 1。
练习 2：我们能否解释为什么第五和第六个数字的总和等于 21 与第一个笼子的目标总和之差？
练习 2 的解决方案：关于最后两个数字总和的模式允许推断出最后两个数字的总和。有时，当我们建立数学模型时，数字关系会变得更加清晰。假设一个总和笼子的目标是 a，笼子外剩余数字的总和是 b。我们还知道该行中的所有数字都是 1 到 6。因此，所有数字加起来将是 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21。
因此，我们可以说
a + b = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
这是关于该行数字推理的数学模型。
它可以在数学上进行操作。
例如，我们可以写
b = 21 - a。
因为我们知道 a 的值，所以我们也可以通过求解这个方程来确定 b 的值。如果我们知道 b，那么我们就知道一个额外的约束条件，即最后两个数字加起来会是 b。在某些问题中，这将允许我们做出进一步的推断。现在考虑以下问题
假设最后两个数字是 x 和 y。然后，-2 目标告诉我们 x - y = 2。此外，根据我们之前讨论的内容，最后两个数字将加起来是 4。此外，我们被告知它们之间的差值是 2。
这可以写成
x - y = 2
x + y = 4。
同样，我们在这里创建了一个数学模型。创建这样的模型将允许我们理解解决这类问题的策略，这些策略将在 KenKen 谜题中以不同的形式反复出现。
现在，我们需要一个过程来确定这两个数字。
由于问题涉及两个未知变量，因此一种策略是猜测和检查。在这种情况下，你可能在进行几次猜测后就能得到答案。由于 x 和 y 的总和是 4，因此它们中的每一个最多可以是 4。可以创建一个表，列出 x 和 y 的可能值以及它们的对应总和。如下表所示。
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
x + y |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
3 |
4 |
|
x- y |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
然后，人们可以在表中确定两个数字的总和为 4 且两个数字之差为 2 的值。匹配的数字是 x = 3 且 y = 1。
现在，让我们检查一下解决这个问题的其他方法。有时，当问题的解决方案不明显时，我们可以将问题信息用图表表示，然后解决方案就变得很明显了。下面是一个这样的表示。
从视觉上，我们可以看到 x + y 与 x - y 之间的差值是 2y。
因此，2y = 4 - 2。
因此，2y = 2。
将两边都除以 2，我们得到
y = 1。
一旦我们得到 y 的值，我们就可以将其代入方程 x + y = 4 中
这将给我们 x + 1 = 4。
现在，从方程两边减去 1，我们将得到
x + 1 - 1 = 4 - 1。
因此，x = 3。
下面，我们提供了一个简单的三步程序来确定和为 a、差为 b 的数字。
- 设 x 和 y 是这两个数字。计算 y 为 (a - b) / 2。
- 将 y 的值代入方程 x + y = a。
- 简化此方程以计算 x 的值。
这是因为 (x + y) + (x - y) = 2x = a + b。
类似地，(x + y) - (x - y) = 2y = a – b。
练习
对于下表中的每个问题，找到 x 和 y。使用两种方法解决此问题：绘制图表和使用本章中描述的三步程序。
|
问题 Number |
x + y |
x -y |
x 是多少？ |
y 是多少？ |
1 |
4 |
12 |
||
2 |
6 |
20 |
||
3 |
12 |
32 |
||
4 |
100 |
140 |
||
5 |
3 |
9 |
||
6 |
17 |
19 |
||
7 |
25 |
27 |
||
8 |
25 |
77 |
||
9 |
50 |
90 |
||
10 |
220 |
300 |
答案
|
问题 Number |
x + y |
x -y |
x 是多少？ |
y 是多少？ |
|
1 |
4 |
12 |
8 |
4 |
|
2 |
6 |
20 |
13 |
7 |
|
3 |
12 |
32 |
22 |
10 |
|
4 |
100 |
140 |
120 |
20 |
|
5 |
3 |
9 |
6 |
3 |
|
6 |
17 |
19 |
18 |
1 |
|
7 |
25 |
27 |
26 |
1 |
|
8 |
25 |
77 |
51 |
26 |
|
9 |
50 |
90 |
70 |
20 |
|
10 |
220 |
300 |
260 |
40 |
在 KenKen 谜题中确定一行中最右边两个数字的步骤，其中最右边的笼子有减法目标 n，包含两个方格，其余方格在一个目标总和为 m 的笼子里。
- 将 KenKen 谜题中允许的所有数字加起来。
- 计算最右边两个数字的总和，使其等于步骤 (1) 中的结果减去 m。
- 最右边两个数字之间的差值为 n。
- 现在，使用上面描述的程序确定数字，该程序确定和与差已知的数字。
现在考虑我们之前讨论的问题
我有一个包含十个数字的列表。在这个列表中，数字 1 到 10 每个都只出现一次，但不一定按升序排列。前八个数字加起来是 45。最后两个数字之间的差值为 2。最后两个数字是什么？
将 1 到 10 之间的数字全部加起来，得到 55。
因为前八个数字加起来是 45，所以最右边数字的总和将是 55 - 45 = 10。
最右边两个数字之间的差值为 2。
因此，使用从和与差中查找数字的步骤，我们可以确定这些数字为 6 和 4。
答案：6 和 4
练习
我有一个包含六个数字的列表。这些数字是 1 到 6，但不一定按相同的顺序排列。
下表中的每一行都指定了前四个数字的总和以及最后两个数字之间的差值，尝试确定最后两个数字。每一行都有不同的答案。
前 四个数字 的总和 |
最后 两个数字 之间的差值 |
14 |
5 |
13 |
2 |
14 |
1 |
17 |
2 |
14 |
3 |
13 |
4 |
15 |
2 |
12 |
1 |
16 |
3 |
15 |
4 |
12 |
3 |
解答
各位数字之和 |
差值 |
较大的数字 |
较小数字 |
14 |
5 |
6 |
1 |
13 |
2 |
5 |
3 |
14 |
1 |
4 |
3 |
17 |
2 |
3 |
1 |
14 |
3 |
5 |
2 |
13 |
4 |
6 |
2 |
15 |
2 |
4 |
2 |
12 |
1 |
5 |
4 |
16 |
3 |
4 |
1 |
15 |
4 |
5 |
1 |
12 |
3 |
6 |
3 |
乘积和差值的探索
[edit | edit source]练习
1) 考虑以下问题
我有一个包含八个数字的列表。在这个列表中，数字 1 到 8 每个都只出现一次，但不一定按升序排列。前六个数字的乘积是 720。最后两个数字之间的差值为 1。最后两个数字是什么？
尝试使用猜想和检查策略来解决问题，你猜测数字。如果你得到答案，记下来。尝试确定在这个问题上使用猜想和检查策略的困难之处。
2) 下表中的每一行都列出了一个包含 6 个数字的不同列表的属性，这些数字来自 1 到 6，但顺序不同。你在这张表中观察到什么模式？
前 四个数字 |
最后 两个数字 |
前 四个 数字的乘积 |
最后 两个 数字的乘积 |
最后 两个 数字之间的差值 |
|
1, 2, 3, 4 |
5, 6 |
24 |
30 |
1 |
|
1, 2, 3, 5 |
4, 6 |
30 |
24 |
2 |
|
1, 2, 4, 5 |
3, 6 |
40 |
18 |
3 |
|
1, 3, 4, 5 |
2, 6 |
60 |
12 |
4 |
|
2, 3, 4, 5 |
1, 6 |
120 |
6 |
5 |
3) 下表中的每一行都列出了一个包含六个数字的不同列表的属性，这些数字来自 1 到 6，但顺序不同。你在这张表中观察到什么模式？
前 四个数字 |
最后 两个数字 |
前 四个 数字的乘积 |
最后 两个 数字之间的差值 |
|
1,2 , 3, 4 |
5, 6 |
24 |
1 |
|
2, 3, 4, 5 |
1, 6 |
120 |
5 |
|
1, 3, 4, 5 |
2, 6 |
60 |
4 |
|
2, 3, 4, 5 |
1, 6 |
120 |
5 |
|
1, 2, 4, 5 |
3, 6 |
40 |
3 |
|
2, 3, 4, 5 |
1, 6 |
120 |
5 |
4) 我们有一个包含 1 到 6 的六个数字的列表，但顺序不一定相同。前四个数字的乘积是 24。我们正在尝试确定最后两个数字的乘积。我们知道所有六个数字的乘积 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720。假设最后两个数字的乘积是 p。
720 = 所有六个数字的乘积
因此，720 = 前四个数字的乘积乘以最后两个数字的乘积。
因此，我们确定 720 = 24 x p。从此确定 p 的值。
5) 我们得到了两个神秘数字 x 和 y，它们可以是 1、2、3、4、5 或 6。我们被告知
x - y = 1。
x * y = 30。
你能从这些信息中确定 x 和 y 吗？一种可能的方法是创建一个包含 x 和 y 的可能值的表格，并检查给定的约束条件是否为真。
6) 我们被告知两个数字之间的差值为 4，这两个数字的乘积为 32。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 这两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
7) 我们被告知两个数字之间的差值为 2，这两个数字的乘积为 8。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 这两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
8) 我们被告知两个数字之间的差值为 1，这两个数字的乘积为 30。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 这两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
9) 我们被告知两个数字之间的差值为 3，这两个数字的乘积为 18。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 这两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
10) 我们被告知两个数字之间的差值为 1，这两个数字的乘积为 42。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 这两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
11) 我们被告知两个数字之间的差值为 3，这两个数字的乘积为 4。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
12) 我们被告知两个数字之间的差值为 4，这两个数字的乘积为 12。我们想要确定这两个数字的总和。
- 这两个数字之间的差值是多少？
- 这两个数字之间的差值的平方是多少？
- 4 乘以这两个数字的乘积是多少？
- (B) 和 (C) 的结果之和是多少？
- (D) 的平方根是多少？
- 这两个数字的总和是多少？
13) 如果给你两个正数之间的和与差值，那么你可以使用下面的公式找到这两个数
较大数字 = (和 + 差)/2
较小数字 = (和 - 差)/2
(a) 两个数字的总和是 12。它们的差值为 4。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
(b) 两个数字的总和是 6。它们的差值为 2。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
(c) 两个数字的总和是 11。两个数字之间的差值为 1。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
(d) 两个数字的总和是 9。两个数字之间的差值为 3。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
(e) 两个数字的总和是 13。两个数字之间的差值为 1。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
(f) 两个数字的总和是 5。两个数字之间的差值为 3。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
(g) 两个数字的总和是 8。两个数字之间的差值为 4。较大的数字是多少？较小的数字是多少？
14) 对于下表中的每个问题，找到 x 和 y。
|
问题 Number |
x * y |
x -y |
是什么 x? |
是什么 y? |
|
1 |
32 |
12 |
||
|
2 |
8 |
2 |
||
|
3 |
30 |
1 |
||
|
4 |
18 |
3 |
||
|
5 |
42 |
1 |
||
|
6 |
4 |
3 |
||
|
7 |
12 |
4 |
15) 现在，让我们考虑第一个问题。
我有一个包含 8 个数字的列表。在这个列表中，数字 1 到 8 每个都只出现一次，但不一定按升序排列。前六个数字的乘积是 720。最后两个数字之间的差值为 1。最后两个数字是什么？
(a) 从 1 到 8 的所有数字的乘积是多少？
(b) 如果 720 * a = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8，那么 a 是多少？
(c) 如果两个数字之间的差值为 1，并且它们的乘积由上一个问题的答案给出，那么这两个数字的总和是多少？
(d) 如果数字的总和由上一个问题的答案给出，并且两个数字之间的差值为 1，那么这两个数字是什么？
16) 你能确定下表中给出前两个数字之间的差值和最后四个数字的乘积的情况下，第一个笼子中的两个数字是什么？每一行对应于一个不同的问题，并且具有不同的解决方案。
|
差值 between first two
|
的乘积 last four
|
较大的数字 |
较小 number |
|
4 |
144 |
||
|
2 |
30 |
||
|
1 |
360 |
||
|
1 |
120 |
||
|
3 |
72 |
||
|
3 |
40 |
||
|
3 |
180 |
||
|
1 |
60 |
||
|
2 |
48 |
||
|
5 |
120 |
||
|
2 |
90 |
||
|
1 |
36 |
||
|
1 |
24 |
17) 回顾并确定你在这次探索中学习到的某些东西。
解答
1. 学生在解决这个问题时最常使用的一种策略是猜想和检查。虽然这种策略可以找到解决方案，但它是一个耗时的策略，需要大量的计算。
2. 在这些例子中，人们可以观察到各种模式，包括以下模式
随着最后两个数字变小，前四个数字的乘积会增加。最后两个数字的乘积和前四个数字的乘积始终为 720。
3. 在这些例子中，人们可以观察到各种模式，包括以下模式
如果第五个数字是 a 并且它被 1 替换，则前四个数字的乘积将乘以 a。最后两个数字的乘积和前四个数字的乘积始终为 720。
4. p 是 30。
5. x 是 6，y 是 5。
6. (a) 12 (b) 16 (c) 128 (d) 144 (e) 12 (f) 12。
7. (a) 2 (b) 4 (c) 32 (d) 36 (e) 6 (f) 6。
8. (a) 1 (b) 1 (c) 120 (d) 121 (e) 11 (f) 11。
9. (a) 3 (b) 9 (c) 72 (d) 81 (e) 9 (f) 9。
10. (a) 1 (b) 1 (c) 168 (d) 169 (e) 13 (f) 13。
11. (a) 3 (b) 9 (c) 16 (d) 25 (e) 5 (f) 5。
12. (a) 4 (b) 16 (c) 48 (d) 64 (e) 8 (f) 8。
13. (a) 8 和 4 (b) 4 和 2 (c) 10 和 9 (d) 6 和 3 (e) 7 和 6 (f) 4 和 1 (g) 6 和 2。
14.
问题编号 |
x * y |
x - y |
x 是多少？ |
y 是多少？ |
1 |
32 |
12 |
8 |
4 |
2 |
8 |
2 |
4 |
2 |
3 |
30 |
1 |
6 |
5 |
4 |
18 |
3 |
6 |
3 |
5 |
42 |
1 |
7 |
6 |
6 |
4 |
3 |
4 |
1 |
7 |
12 |
4 |
6 |
2 |
15. (a) 40320 (b) 56 (c) 15 (d) 7 and 8.
16.
前两个数的差 |
最后四个数的乘积 |
较大的数字 |
较小的数 |
|
4 |
144 |
5 |
1 |
|
2 |
30 |
6 |
4 |
|
1 |
360 |
2 |
1 |
|
1 |
120 |
3 |
2 |
|
3 |
72 |
5 |
2 |
|
3 |
40 |
6 |
3 |
|
3 |
180 |
4 |
1 |
|
1 |
60 |
4 |
3 |
|
2 |
48 |
5 |
3 |
|
5 |
120 |
6 |
1 |
|
2 |
90 |
4 |
2 |
|
1 |
36 |
5 |
4 |
|
1 |
24 |
6 |
5 |
17. 刚开始，你可能会卡住。但是，探索类似但更简单的问题情况可以为我们提供解决问题的见解。虽然猜想和检查是一种可以用于解决此问题的策略，但我们学习了另一种涉及数字和差的解决问题的方法。
练习
1) 考虑以下问题
我有一组十个数。在这组数中，数字 1 到 10 每个都出现一次，但不一定按升序排列。前八个数的和为 46。最后两个数的比率为 2。最后两个数是什么？
尝试使用猜想和检查策略来解决问题，你猜测数字。如果你得到答案，记下来。尝试确定在这个问题上使用猜想和检查策略的困难之处。
2) 解决以下问题
a. 数字 1 到 10 的总和是多少？
b. 如果前八个数加起来是 46，最后两个数的和是多少？
3) 创建一个表格，第一列的值从 1 到 4 变化，第二列的值是第一列值的兩倍，第三列的值是前两列的值之和，第四列的值是第二列的值除以第一列的值。
4) 如果两个数的和是 9 且其比率是 2，这两个数是什么？
5) 现在，让我们练习一下关于根据数字的和与积来确定未知数字的技能。
下表中的每一行都是一个不同的问题。在每种情况下确定两个未知数。
|
问题 Number |
数字的和 |
数字的比率 numbers |
数字 |
1 |
27 |
2 |
|
2 |
54 |
2 |
|
3 |
81 |
2 |
|
4 |
60 |
2 |
|
5 |
44 |
3 |
|
6 |
60 |
3 |
|
7 |
400 |
3 |
|
8 |
60 |
4 |
观察完表中问题的解题方法后，你能发现任何与数字及其和与比率相关的模式吗？
6) 一个 10x10 的数独谜题的第一行有两个水平笼子。第一个是一个八个方格的笼子，目标和为 S。第二个是一个两个方格的笼子，除法目标为 R。尝试确定这些数字。
问题编号 |
S |
R |
找出这些数字 |
1 |
45 |
4 |
|
2 |
52 |
2 |
|
3 |
43 |
2 |
|
4 |
40 |
2 |
7) 你能发现先前问题解题方法中的模式吗？
8) 一个 9x9 的数独谜题的第一行有两个水平笼子。第一个是一个七个方格的笼子，目标和为 S。第二个是一个两个方格的笼子，除法目标为 R。尝试确定这些数字。
问题编号 |
各位数字之和 |
比率 |
找出这些数字 |
1 |
41 |
3 |
|
2 |
33 |
2 |
|
3 |
43 |
3 |
|
4 |
30 |
2 |
9) 你能发现先前问题解题方法中的模式吗？
解答
1) 学生们在这道题上使用最多的策略是猜想和检查。虽然这种策略可以找到解，但它是一种费时且涉及大量计算的策略。因为它涉及大量计算，所以这种策略也容易出错。
2) 数字 1 到 10 的总和是 55。如果最后两个数字加起来为 a，那么我们可以写成如下形式
前八个数的和 + 所有数字对的和 = 所有等于 55 的数字的和。
我们知道前八个数的和是 46。
所以，46 + a = 55。
我们可以通过从两边减去 46 来简化它。
46 + a - 46 = 55 – 46.
a + 0 = 9.
因此，a 必须是 9。
3)
|
第一个 Number |
第二个数字 |
各位数字之和 |
比率 |
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
2 |
4 |
6 |
2 |
|
3 |
6 |
9 |
2 |
|
4 |
8 |
12 |
2 |
4) 假设，最后两个数字中较小的那个是 a。由于两个数字的比率是 2，那么这两个数字是 a 和 2a。由于我们知道这两个数字的和是 9，我们可以写成如下形式
a + 2 a = 9.
为了确定 a 是什么，让我们意识到 a + 2a 应该等于 3a。然后，我们可以写
3a = 9.
所以，a = 3。
由于 a = 3，所以最后两个数字是 3 和 6。
5)
问题编号 |
数字的和 |
数字的比率 |
数字 |
|
1 |
27 |
2 |
9, 18 |
|
2 |
54 |
2 |
18, 36 |
|
3 |
81 |
2 |
27, 54 |
|
4 |
60 |
2 |
20, 40 |
|
5 |
44 |
3 |
11, 33 |
|
6 |
60 |
3 |
15, 45 |
|
7 |
400 |
3 |
100, 300 |
|
8 |
60 |
4 |
12, 48 |
模式：较小的数字 = (数字的和) / (1 + 数字的比率)
6) 现在，查看下面这些问题的解题方法。
问题编号 |
各位数字之和 |
比率 |
找出这些数字 |
1 |
45 |
4 |
2, 8 |
2 |
52 |
2 |
1, 2 |
3 |
43 |
2 |
4, 8 |
4 |
40 |
2 |
5, 10 |
7) 较小的数字 = (55 - 和) / (1 + 比率)
8) 9x9 数独谜题
问题编号 |
各位数字之和 |
比率 |
找出这些数字 |
1 |
41 |
3 |
1, 3 |
2 |
33 |
2 |
4, 8 |
3 |
33 |
3 |
3, 9 |
4 |
30 |
2 |
5, 10 |
9) 较小的数字 = (45 - 和) / (1 + 比率)
下面，我们开发一个公式来确定两个数字，其中两个数字的比率为 r ，两个数字的和为 b。
设这两个数字为 a 和 r * a。
我们可以写 a + r * a = b。
解决这个问题，我们将得到 a = b / (1 + r)。
现在，我们知道一个数字是 a。第二个数字将是 r * a。
===探索乘积和商===
练习
- 已知 xy = 8 且 x/y = 2，那么 x 是多少，y 是多少？
- 根据第一两列中 x、y 的乘积和比率找到 x 和 y。
x & y 的乘积 |
x & y 的比率 |
x |
y |
4 |
1 |
||
9 |
1 |
||
16 |
1 |
||
8 |
2 |
||
18 |
2 |
||
3 |
3 |
||
12 |
3 |
- 找出下表中的模式。
x & y 的乘积 |
x & y 的比率 |
x |
y |
4 |
1 |
2 |
2 |
9 |
1 |
3 |
3 |
16 |
1 |
4 |
4 |
8 |
2 |
4 |
2 |
18 |
2 |
6 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
12 |
3 |
6 |
2 |
解答
(1) 由于 x/y = 2，所以 x 是 y 的两倍。我们将创建一个 x 是 y 的两倍的 x 和 y 可能值的表格。
y |
x |
xy |
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
8 |
3 |
6 |
18 |
查看表格，我们可以得出结论，y = 2 且 x = 4。
(2)
x & y 的乘积 |
x & y 的比率 |
x |
y |
4 |
1 |
2 |
2 |
9 |
1 |
3 |
3 |
16 |
1 |
4 |
4 |
8 |
2 |
4 |
2 |
18 |
2 |
6 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
12 |
3 |
6 |
2 |
(3) 找出下表中的模式
x & y 的乘积 |
x & y 的比率 |
x |
y |
4 |
1 |
2 |
2 |
9 |
1 |
3 |
3 |
16 |
1 |
4 |
4 |
8 |
2 |
4 |
2 |
18 |
2 |
6 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
12 |
3 |
6 |
2 |
人们可能会观察到各种模式：随着乘积的增加而比率保持不变，x 增加而 y 也增加。
比率和乘积的乘积是 x 的平方。乘积除以比率是 y 的平方。
相关谜题：数独、数独变体、数独谜题
练习
- 我有四个数字：2、3、4 和 6。我可以用多少种方法将它们放在一行四个方格中？
- 在 6x6 的数独谜题的第一行中考虑两个 2 方格的笼子。{2, 3, 4, 6} 中的每个数字最多只能在这些笼子中出现一次，因为 1 和 5 已经被分配到该行中剩余的方格中。一个笼子的目标是 12x。另一个笼子的目标是 1-。1- 笼子中有哪些数字？
答案
- 在四个方格中放置数字的方法有 4 x 3 x 2 x 1 = 24 种。
- 对于目标为 12x 的笼子，有两种可能性 (C1：2, 6 C2：3, 4)。对于目标为 1- 的笼子，有两种可能性 (B1：2, 3 B2：3, 4)。综合考虑所有可能的情况，只有一种可能性与目标数字一致。这对应于 C2 和 B2：12x 笼子中的 2 和 6 以及 1- 笼子中的 3 和 4。
笼子 1 |
笼子 2 |
每个数字使用一次 |
C1 3, 4 |
B1 2, 3 |
否 |
C1 3, 4 |
B2 3, 4 |
否 |
C2 2, 6 |
B1 2, 3 |
否 |
C2 2, 6 |
B2 3, 4 |
是 |
考虑以下问题
我有一组十个数。在这组数中，数字 1 到 10 每个都出现一次，但不一定按升序排列。前七个数的和为 39。第八个数是 7。最后两个数的比率为 2。最后两个数是什么？
假设参与比率的较小数字是 a。现在，数字 1 到 10 的总和是 55。所以，如果我从 a 开始，加上它的两倍，然后加上 39，最后再加 7，结果将是 55。
你可以在这里使用的一种策略是逆向工作。让我们用图表描述一下我们所描述的内容
为了逆向工作，我们尝试先确定 C。
由于 C + 7 = 55 且逆运算为 C = 55 - 7 = 48。
现在，我们将尝试确定 B。
由于 B + 39 = 48 且逆运算为 B = 48-39 = 9。
最后，我们将尝试确定 A。
由于 A 乘以 3 是 9 且乘法的逆运算为除法，所以 A 是 9 除以 3 = 3。
练习
- 我从一个数字开始。我把它乘以 4。我加上 20。我减去 8。我得到 20。我一开始的数字是多少？
- 我从一个数字开始。我把它乘以 4。我加上 20。我减去 8。我得到 24。我一开始的数字是多少？
- 我从一个数字开始。我把它乘以 4。我加上 20。我减去 8。我得到 28。我一开始的数字是多少？
- 我从一个数字开始。我加上 10。我乘以 2。我加上 2。结果是 26。我一开始的数字是多少？
- 我从一个数字开始。我加上 12。我乘以 2。我加上 2。结果是 32。我一开始的数字是多少？
解答
(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 2 (5) 3
相关谜题：杀手数独、肯肯
在之前的一些探索中（和差），我们发现知道从 1 到谜题中允许的最大数字的总和很有用。
练习
(1) 找出下表中列出的第一行中的一组数字和第二行中这些数字的总和的模式。
1 到 2 |
1 到 3 |
1 到 4 |
1 到 5 |
1 到 6 |
1 到 7 |
1 到 8 |
1 到 9 |
1 到 10 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
45 |
55 |
解答
(1) 寻找模式的一个好策略是检查差异。
|
差别 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 | ||
|
差别 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
45 |
55 | |
1, 2 |
1–3 |
1–4 |
1–5 |
1–6 |
1–7 |
1–8 |
1–9 |
1–10 |
另一个需要记住的规则是：当二级差为常数时，数字与 n * n 的平方相关，其中 n 是该数字在序列中的位置。所以，让我们通过在下表中寻找模式来检查这些数字。
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
n x n |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
|
和 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
28 |
36 |
45 |
55 |
经过一番试验后，我们会发现底层模式是和 = (n x n + n) / 2。
让我们检查一下和。
1+ 2 + 3 … + 20。
获得此和答案的一种方法是使用上面提到的公式 (20 x 20 + 20) / 2 = 210。
另一种方法是将第一个数字和最后一个数字配对，将第二个数字和倒数第二个数字配对，依此类推。在每种情况下，总和都为 21。现在，让我们确定有多少对数字。有十对。因此，总和将是 21 x 10 = 210。
在算术数列中，一项与下一项之间的差是一个常数。例如，1、4、7、10、13、16、19、22、25。一般来说，你可以这样写一个算术数列
{a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... }
其中
• a 是第一项，并且
• d 是各项之间的差（称为“公差”。
考虑以下关于算术数列的问题：求 1 + 3 + 5 + … 49 的和。
这里，我们可以将第一个数和最后一个数配对，第二个数和倒数第二个数配对，依此类推。我们有十二对这样的数，它们加起来都等于 50。中间的数是 25，它本身就是一个数。所以，总和将是 12 x 50 + 25 = 625。
算术数列的公式如下
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + ...(a + (n - 1) d) = n/ 2 (a + a + (n - 1) d).
总结反思
参考文献
美国数学教师委员会。学校数学的原则和标准。2000 年。
Beneduct Carey。追踪创造性解决问题的火花。纽约时报。2010 年 12 月 6 日。
Gordon，Peter。Mensa 数独解题指南：数百个难题加上帮助你破解所有难题的技术。斯特林。2006 年。
John Kounios 和 Mark Beeman。Aha！时刻 顿悟的认知神经科学。在心理学当前方向。2012 年。
Kulkarni，D。享受数学：通过 KenKen 谜题学习解决问题。休闲数学出版物。2012 年。
Lenchner，G。学校数学中的创造性问题解决，霍顿·米夫林 1983 年。
Mason，J。数学思维。皮尔森。1982 年。
Schoen，H。和 Harold，R。通过问题解决教学数学：6-12 年级。美国数学教师委员会。2003 年。
Singmaster，D。休闲数学的不可思议的效用。第一届欧洲数学大会，巴黎，1992 年 7 月。
Wilson，R。如何解数独：循序渐进指南。无限创意。2005 年。
附录
在线谜题资源
[edit | edit source]本书提供了各种基于谜题的课程。但是，它没有提供大量的谜题集，因为这些谜题很容易以不同的形式（书籍、网站、软件和应用程序）获得。本节提供了一个可用资源列表。