费马大定理/安德鲁·怀尔斯
安德鲁·怀尔斯出生于英国，1953 年 4 月 11 日。从小他就表现出对数学谜题和问题的浓厚兴趣。当他还是个孩子的时候，他就喜欢去公共图书馆寻找包含谜题和难题的书籍。在他 10 岁的时候，他在图书馆里找到了埃里克·坦普尔·贝尔的《最后的问题》这本书。在这本书中，作者描述了后来被称为费马大定理的东西，从古希腊人到 19 世纪末的发现。年轻的怀尔斯一直被这个问题所吸引。一个如此简单表述的方程却难倒了世界上一些最优秀的数学家，这个男孩开始幻想，希望找到一个简单的证明，而这个证明是其他数学家无法找到的。怀尔斯假设费马并没有比他更强的数学知识，因此他试图用他有限的知识来证明。显然，他无法找到它，他一生的大部分时间都在追求费马大定理。怀尔斯成为了一名职业数学家，他不得不暂时放弃他的追求，因为找到一个证明被认为对一个年轻的数学家来说太难了，而且他并不认为这能立即产生有趣的数学成果。怀尔斯的博士导师是约翰·科茨，他指导怀尔斯研究椭圆曲线。那是怀尔斯的幸运，因为怀尔斯能够利用他关于椭圆曲线的知识来证明费马大定理。
具体来说，怀尔斯分析了模算术中的一些椭圆曲线。虽然经典的算术处理的是无限多个数字，但在模算术中，人们只使用一个值子集。模算术也被称为时钟算术，因为这使用了模数等于 24 的模算术。众所周知，如果现在是下午 6 点，等 8 个小时，你不会发现自己在下午 2 点，而是下午 2 点，因为当时钟到达 24 点时，它会从 0 开始重新计数。模算术是一个完整的算术，就像经典的算术一样，只是使用的数字是有限的。模算术还有一些非常有趣的特性，使其在某些数学领域特别有用。当一位数学家用模算术分析一个椭圆曲线时，他会提取一系列被称为 L 级数的解。怀尔斯在椭圆曲线及其 L 级数方面做了很多工作，积累了未来对他有用的经验。
在 20 世纪 50 年代末，日本数学家谷山丰和志村五郎提出了一个猜想，被称为谷山-志村猜想。这个猜想指出，每个椭圆曲线的 L 级数都可以与一个特定模形式的 M 级数相关联。本质上，这个猜想断言，每个模形式都可以与一个椭圆曲线建立一一对应的关系，或者，换句话说，模形式和椭圆曲线是同一个数学对象，从不同的角度来看。从数学家的角度来看，这个猜想非常重要，事实上，如果它被证明是正确的，那么这意味着几个世纪以来关于椭圆曲线的问题将能够被转移到它们的模形式中，并用新的数学工具来解决。显然，反之亦然。
1984 年，发生了一件事，改变了怀尔斯的生活：在德国的一次会议上，格哈德·弗雷证明，谁证明了谷山-志村猜想，也就自动证明了费马大定理。弗雷通过一系列并不复杂的步骤表明，在费马大定理的一个假设的反例（即方程 an+bn=cn 的一个有效解）中，人们将能够把它写成一个椭圆曲线，这个曲线是如此特殊和非典型，以至于它不能与任何模形式的 M 级数相关联。因此，证明谷山-志村猜想证明了这个退化方程不存在，因此费马大定理是正确的。实际上，几乎所有与费马大定理相关的东西并不像看起来那样简单，以至于一个证明的出现，将费马大定理与谷山-志村猜想不可分割地联系在一起，让世界上半数的数学家奋斗了不止两年，事实上，弗雷最初的证明是不完整的。
1986 年，怀尔斯得知了谷山-志村猜想与费马大定理之间的联系已经被证明。这似乎是怀尔斯一个绝佳的机会，利用高级数学（试图证明谷山-志村猜想）来实现他一生的数学抱负（证明费马大定理）。怀尔斯决定在绝对秘密中工作，这与当时的主流风气背道而驰。虽然在许多学科中，在进行一个项目时保持严格的保密是常见的做法，以保护专利权，但在数学中人们遵循相反的做法。数学家们不断地相互交谈，连续比较是面对看似无法解决的问题的最佳方法，而在理论数学中，工业秘密的问题实际上并不存在。怀尔斯精心准备，他放弃了所有非义务性的职责，接受了一项他即将发表的令人印象深刻的研究，将其分成许多文章，以便在研究猜想时能够不断提供作品，并尽力吸收尽可能多的关于模形式和椭圆曲线的知识。怀尔斯只向他的妻子透露了他的工作秘密。在最初两年的工作中，怀尔斯利用伽罗瓦群论取得了进展，尽管他距离解决方案还有很长的路要走。1988 年 3 月 8 日，怀尔斯震惊地从《华盛顿邮报》上读到，日本数学家宫冈洋一已经证明了费马猜想。实际上，宫冈并没有给出完整的证明，而是利用微分几何，一个新的几何分支，他提出了一些对最终解的最佳基础。不幸的是，对于宫冈来说，他的证明有一个缺陷，虽然一开始看起来并不严重，但后来证明是灾难性的，使得用这种技术无法进行费马大定理的证明。最后，怀尔斯利用一种叫做科利瓦金-弗拉赫的方法，成功地将一个特定的椭圆曲线与其模形式相关联。对于怀尔斯来说，问题是这种方法不能扩展到所有椭圆曲线。然后，怀尔斯将所有椭圆曲线分类成族，并修改了这种方法，使其适应单个族。
为了使用科利瓦金-弗拉赫方法，怀尔斯必须深入扩展他对代数几何的知识，而他在这方面并不是很精通，所以最后他决定向该领域一位值得信赖的数学专家咨询。因此，怀尔斯联系了他的部门的数学家尼克·卡茨。由于证明非常复杂且内容很多，在卡茨的书房里进行非正式的讨论是不够的，为了消除所有的疑问，他们决定将他们的会面伪装成一些研究生课程。怀尔斯会上课，而卡茨会和其他学生一起参加。怀尔斯以一种非常技术性和枯燥的方式上课，最终让学生们失去了兴趣。事实上，几周后，只有卡茨还留在课堂上。怀尔斯在卡茨的帮助下，再次检查了他的证明，证明是有效的。最后，怀尔斯迅速地消除了剩下的族，最后在 1993 年 5 月，怀尔斯完成了证明，连最后一个顽固的族也被消除了。
6 月下旬，剑桥举行了一次关于 L 函数及其算术的会议。在这种情况下，在一些世界上最杰出的数学家面前，怀尔斯在三场会议中展示了他的证明。6 月 23 日，第三场也是最后一场会议举行，长时间的掌声结束了怀尔斯的最后一场会议。费马大定理已被证明。全世界所有的报纸都报道了这一事件，在一个下午，怀尔斯成为了世界上最著名的数学家。
怀尔斯将证明寄给了期刊，以使期刊编辑能够由合格的委员会对其进行验证。鉴于证明的重要性与复杂性，期刊编辑将证明稿分成了六部分，分别交给了六位评审员。他们逐段分析手稿，并联系怀尔斯以澄清不明确的段落和推测的错误。其中一位评审员是卡兹，怀尔斯曾联系他以验证科利瓦金-弗拉赫方法的正确应用。不幸的是，卡兹发现了错误。
最初，这似乎是复杂证明中常见的微不足道的错误之一。这些错误类似于疏忽，通常可以在几个小时内纠正。但即使这个错误非常细微，它也非常阴险，事实上，怀尔斯未能消除它。随着时间的推移，关于这个漏洞的传言在数学界以及《纽约时报》等一般报纸上越来越盛行。最终，怀尔斯通过电子邮件告知数学界，证明中确实存在漏洞，但他预计在几周内就能解决。几个月过去了，他仍然无法解决这个问题，在朋友的建议下，他决定向科利瓦金-弗拉赫方法的专家寻求帮助，因此他联系了理查德·泰勒。泰勒是证明的评审员之一，也是怀尔斯的 पूर्व 学生。他们一起研究这个问题花了几个月的时间，到夏天快结束的时候，怀尔斯变得非常沮丧，甚至公开向泰勒宣布放弃，但泰勒说服他至少坚持到九月底。
9 月 19 日，怀尔斯正在分析科利瓦金-弗拉赫方法，试图理解为什么该方法失败，这时他意识到，虽然该方法不足以证明，但它允许一种称为岩泽方法的方法起作用。岩泽方法最初被怀尔斯用于证明，但被认为不足而被放弃。然而，这种方法与科利瓦金-弗拉赫方法结合使用，提供了一个有效的证明。
10 月 25 日，怀尔斯向媒体提交了两份手稿。第一份手稿是费马大定理的证明，上面签着他的名字。第二份手稿详细说明了一些椭圆曲线的性质，由怀尔斯和泰勒签署。第二份手稿用于证明第一份手稿中的一段关键内容。这些手稿的发表，标志着数学史上最复杂、最困难的证明之一的结束。
怀尔斯和泰勒并没有完全证明谷山-志村猜想，实际上，所有情况的证明是在 1999 年由克里斯托弗·布雷伊尔、布莱恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德和泰勒完成的，他们在怀尔斯的基础上逐步证明了剩余的猜想。