金融衍生品/基本衍生品合约

远期

现货市场允许今天买卖资产。 相反，远期合约规定了未来某个日期可以购买或出售资产的价格。 尽管远期合约在许多市场上被归类为衍生品，但很难区分标的资产和远期合约。 实际上，场外远期的大量交易量可能使其比现货市场更为重要。

远期合约不需要预先付款。 它只是在未来某个日期以固定价格（远期价格）购买或出售资产。 因此，假设远期价格反映了该日期资产的价值。 如果此假设基于市场观点，则将远期合约归类为衍生品是误导性的。

将远期合约归类为衍生品的主要原因是，在许多情况下，它的价格可以通过无套利论证得出，该论证将资产的远期价格与其现货价格联系起来。 对于石油等资产，这是不可能的； 鉴于一桶石油的现货价格，不可能构建一个将它与其远期价格联系起来的套利论证。 在石油市场，远期或期货实际上是标的资产，不能理解为衍生品。 在这些市场中，石油的远期价格与股票的价格性质相似：它反映了市场的当前共识，与风险中性估值无关。

在金融市场，远期可以通过无套利论证确定。 例如，考虑一个关于美元兑欧元汇率的远期。 如果今天一欧元可以兑换 1.3 美元 ($FX_{spot}$)，那么为了确定一年后的远期汇率，我们可以查看以下交易组合，

• 我们买入一个保证以 $FX_{oneyear}$ 美元/欧元的汇率进行兑换的一年期远期。
• 我们今天借入一美元。
• 我们将它兑换成 (1/1.3) 欧元，并将这笔钱存入存款账户。
• 一年后，我们将本金和利息取出，并以 $FX_{oneyear}$ 的汇率兑换回美元。

这笔交易到期时的净现金流为：

$-(1+r_{USD})+{\frac {1}{FX_{spot}}}(1+r_{EUR})FX_{oneyear}$

在没有套利机会的情况下，这笔交易的净现金流应该为零，因此，

$FX_{oneyear}=FX_{spot}{\frac {(1+r_{USD})}{(1+r_{EUR})}}$

另一个例子是关于一年后到期的一年期零息债券的远期合约。 鉴于一年期债券的价格为 $P_{1year}$，两年期债券的价格为 $P_{2year}$，我们查看以下交易组合，

• 一年后以远期价格 $P_{1,1}$出售一年期零息债券。
• 今天买入一年期零息债券。
• 今天卖出两年期零息债券。

由于 $P_{1year}>P_{2year}$，我们必须借入差额。一年后，我们从一年期债券获得 1 美元，并支付借入金额的利息和本金。两年期债券还有一年到期，我们将它转让给远期买方，以换取 $P_{1,1}$。因此，一年内的净现金流为：

$-(P_{1year}-P_{2year})(1+r_{1year})+1+P_{1,1}$

在没有套利机会的情况下，这种现金流必须为零。由于：

$P_{1year}={\frac {1}{(1+r_{1year})}}$

我们得出结论：

$P_{1,1}=P_{2year}/P_{1year}$

值得注意的是，公式：

$P_{1year}={\frac {1}{(1+r_{1year})}}$

本身是基于“无套利”论证的，一年期债券可以看作是一年后收取一美元的“远期合约”。鉴于 $r_{1year}$ 的值，如果一年期债券的价格与 $1/(1+r_{1year})$ 不同，就可以以 $P^{*}>P_{1year}$ 的价格出售一年期债券。到期时，将向债券购买者支付一美元，但由于出售所得款项将赚取 $P^{*}(1+r_{1year})$，这将足以支付这笔款项，并留下明显的利润。只有当 $P^{*}=1/(1+r_{1year})=P_{1year}$ 时，无套利条件才成立。

远期合约的主要特点是：

• 它是双方之间在未来某个约定时间买卖资产的协议。
• 资产的买卖价格在现在确定。
• 资产的转移或交付将在未来约定的期限内进行。
• 合约的任何条款都可以由参与远期合约的各方协商（非标准化）。
• 远期合约的交易不透明。
• 现货价格与远期价格之间的差额称为远期溢价或远期合约。
• 如果股票价格在未来上涨，投资者（买方）将获利，而卖方将亏损。

期货

期货合约与远期合约一样，规定了在未来某个日期交割资产。期货合约与远期合约不同，

1. 要求期货合约的买方或卖方 _缴纳保证金_。
2. 具有 _最低保证金_ 要求；这些要求是通过 _保证金通知_ 实现的。
3. 使用 _盯市_ 过程。

这三个实践中的要求并非期货合约独有。理解它们最好的方法是查看具体的期货合约。

玉米期货合约在芝加哥商品交易所 (CBOT) 交易。该合约的规格非常严格，要求交割“2 号黄”玉米；如果交割其他等级的玉米，则支付的价格将进行调整 [1]。合约规模可以是 5,000 布什尔玉米的倍数。期货可以购买以在 12 月、3 月、5 月、7 月和 9 月的月份交割玉米。在交割月份的第 15 个日历日最近的营业日，该合约的交易停止。交割在交割月份的第 15 个日历日之后的两个营业日进行。

假设在 2007 年 1 月 24 日以 418 美分/布什尔的价格购买了 07 年 7 月合约的一手（5,000 布什尔）。交易所将要求买方缴纳 _初始保证金_ 900 美元。如果买方没有在她的交易所账户中存入这笔钱，她的订单将无法执行。对于该合约，_维持保证金_ 是相同的；在该期货合约的有效期内，账户余额不能低于此水平；如果由于任何原因，账户余额低于维持保证金，该合约的买方将收到 _保证金通知_。

在交易执行的日期，期货合约的盯市价值为零。假设在下一个交易日，期货合约的 *结算价* 为 418 3/4 美分/蒲式耳（结算价是指交易日结束时期货合约的交易价格）。7 月 07 日玉米期货的盯市价值为：

$MtM=5,000*(4183/4-418)=\$37.50$

买方账户的余额现在为 937.50 美元。该账户类似于普通存款账户，其余额可获得利息。

如果 7 月 07 日玉米合约的市场价格在第二天下降，盯市价值可能会从 37.50 美元下降到 12.50 美元。在这种情况下，将从买方账户中提取 25 美元，余额现在为 912.50 美元。

如果在该合约的最后一个交易日（2007 年 7 月 13 日）结算价为 420 1/4 美分/蒲式耳，则盯市价值为 112.50 美元。买方账户的最终余额为 1012.50 美元加上已赚取的利息。由于将在 2007 年 7 月 17 日交付的玉米价值 21,012.50 美元，因此买方将向 *清算所* 支付此金额。清算所充当玉米生产者和买方之间的交易对手方，并确保付款和玉米交付到买方指定的仓库。

由于交易者已赚取 112.50 美元（加上利息），因此实际上玉米交付的净付款为 20,900 美元。这相当于为交付的玉米支付 418 美分/蒲式耳。因此，期货合约使买方能够以 418 美分/蒲式耳的原始价格购买玉米，并对价格变化进行对冲。

为了比较远期合约的价格 $F_{0}$ 和期货合约的价格 $\Phi _{0}$，我们来看一下以下交易组合：

• 我们卖出一份远期合约，以 $F_{0}$ 的价格在未来某个日期交付特定数量的玉米。
• 对于日期 $i=0,1,2,...,N-1$，我们购买 $q_{i}$ 数量的期货合约，以满足以下条件：
  • $q_{0}(1+r_{1})^{N-1}=1$
  • $(q_{0}+q_{1})(1+r_{2})^{N-2}=1$
  • ...
  • $(q_{0}+q_{1}+...+q_{N-1})(1+r_{N-1})=1$

其中 $r_{i}$ 是从日期 $i$ 开始，到日期 $N$ 结束的期间适用的每日利率。这组方程可以递归求解。日期 $N$ 的保证金账户价值将为：

$\sum _{i=1}^{N-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}q_{j}\right)(1+r_{i})^{N-i}[\Phi _{i}-\Phi _{i-1}]$

为了理解最后一个等式，我们知道在日期 $i$，购买的期货总量为 $q_{0}+q_{1}+...+q_{i-1}$。到日期 $i$ 结束时，盯市变化等于 $(q_{0}+q_{1}+...+q_{i-1})(\Phi _{i}-\Phi _{i-1})$。根据变化方向 $\Phi _{i}-\Phi _{i-1}$，这是一个盈利或亏损，并在合约到期日赚取或需要支付本金加利息。

鉴于产生 $q_{i}$ 解的条件，最后一个等式等于 $\Phi _{N}-\Phi _{0}$。由于在到期日，期货价格等于标的资产的现货价格，因此 $F_{N}=\Phi _{N}$，如果 $\Phi _{0}$ 不同于 $F_{0}$，则可以产生无风险利润。请注意，进入一系列期货合约没有任何成本，并且根据差异 $F_{0}-\Phi _{0}$ 的符号，该策略可以反转。因此，远期价格必须等于期货价格。

本分析中使用的策略假设，当我们购买额外的 $q_{i}$ 量期货合约时，我们知道期间 $i+1$ 到 $N$ 的利率。由于在实践中，实际利率的值是未知的，因此假设我们可以锁定一个远期利率。但是，由于我们无法预测期间 $i$ 到 $i+1$ 的期货合约盯市变化，我们不知道必须购买的名义本金。

假设在日期 $i$，我们假设期货的市值不会发生变化，因此无需锁定期间 $i+1$ 到 $N$ 的远期利率。由于最有可能的情况是我们的预测是错误的，我们将不得不在期间 $r_{i+1}$ 的现货利率下借入或存入实际的市值变化。

只要我们对市值变化的估计误差与现货利率无关，我们就可以预期成本/收益会平衡到零。但是，如果期货合约的市值变化是现货利率的函数，那么成本/收益将不会平衡到零，上面描述的期货策略将无法复制远期的收益。我们得出结论，当期货合约是利率的函数时，期货价格将不等于远期价格。

另一个例外发生在期货价格在一个日期到下一个日期之间发生大幅变动时。“大幅变动”的意思是指一天的波动占 $\Phi _{0}$ 和 $\Phi _{N}$ 之差的很大一部分。在这种情况下，在发生这种大幅价格变动的日期，在远期利率下锁定的名义价值的误差大到足以放大我们对市值变化的估计误差。此外，所有后续的市值变化都小得多，无法平衡这种成本/收益。幸运的是，大多数交易所限制期货价格从一个日期到下一个日期之间的最大变化。但是，如果这种大幅价格波动是可能的，那么即使期货价格不是利率的函数，假设它等于远期价格也是错误的。

一般来说，除非利率具有确定性的期限结构，否则无法通过静态套利策略推导出期货价格与远期价格之间的关系。推导出资产期货价格与远期价格之间的关系是动态套期保值 [Black 1976] 的第一个应用之一。

期货合约的主要特点是

• 它是一种标准化合约，以数量、到期日和结算程序等条款制定。
• 期货合约的交易完全透明。
• 它在有组织的交易所交易，并每天进行“盯市”。
• 几乎从未进行标的资产的实物交割。

掉期

掉期是一种协议，约定在未来一段时间内以相同或不同的货币交换一系列现金流。掉期主要用于对冲各种利率风险敞口，它们非常流行，并且是流动性极高的工具。一些非常流行的掉期类型是

固定 - 浮动 (相同货币) 一方 P 以货币 A 支付/接收固定利率，以接收/支付货币 A 的浮动利率，该利率以 X 为指数，名义本金为 N，期限为 T 年。例如，您每月支付 5.32% 的固定利率，以接收名义本金为 100 万美元，期限为 3 年的每月 100 万美元的美元 Libor。相同货币的固定 - 浮动掉期用于将固定/浮动利率资产/负债转换为浮动/固定利率资产/负债。例如，如果一家公司拥有 5.3% 的每月支付固定利率 1000 万美元的贷款和 1000 万美元的浮动利率投资，该投资每月回报 100 万美元的美元 Libor +25 个基点，并且希望锁定利润，因为他们预计 100 万美元的美元 Libor 将下降，那么他们可能会进入固定 - 浮动掉期，其中公司支付浮动 100 万美元的 Libor+25 个基点，并接收 5.5% 的固定利率，从而锁定 20 个基点的利润。

固定 - 浮动 (不同货币) 一方 P 以货币 A 支付/接收固定利率，以接收/支付货币 B 的浮动利率，该利率以 X 为指数，名义本金为 N，初始汇率为 FX，期限为 T 年。例如，您每月支付 1000 万美元的名义本金的固定利率 5.32%，以接收名义本金为 12 亿日元（初始汇率为 USDJPY 120），期限为 3 年的每月日元 3 个月 Tibor。对于不可交割掉期，日元利息的美元等值将支付/接收（根据利息支付日 FX 定盘日的汇率）。请注意，在这种情况下，除非 FX 定盘日和掉期起始日落在未来，否则不会发生名义本金的初始交换。不同货币的固定 - 浮动掉期用于将一种货币的固定/浮动利率资产/负债转换为另一种货币的浮动/固定利率资产/负债。例如，如果一家公司拥有 5.3% 的每月支付固定利率 1000 万美元的贷款和 12 亿日元的浮动利率投资，该投资每月回报 100 万日元的日元 Libor +50 个基点，并且希望锁定美元利润，因为他们预计 100 万日元的日元 Libor 将下降或 USDJPY 将上涨（日元兑美元贬值），那么他们可能会进入不同货币的固定 - 浮动掉期，其中公司支付浮动 100 万日元的 Libor+50 个基点，并接收 5.6% 的固定利率，从而锁定 30 个基点的利润，对冲利率和汇率风险。

浮动 - 浮动 (相同货币，不同指数) 一方 P 以货币 A 支付/接收以 X 为指数的浮动利率，以接收/支付货币 B 的浮动利率，该利率以 Y 为指数，名义本金为 N，期限为 T 年。例如，您每月支付 100 万日元的日元 Libor，以接收名义本金为 10 亿日元的每月 100 万日元的日元 Tibor，期限为 3 年。

在这种情况下，公司希望锁定因利差扩大或缩小而产生的成本。例如，如果一家公司拥有 100 万日元的日元 Libor 浮动利率贷款，并且公司拥有 100 万日元的日元 Tibor+30 个基点的投资，目前 100 万日元的日元 Tibor = 100 万日元的日元 Libor +10 个基点。目前，该公司有 40 个基点的净利润。如果该公司认为 100 万日元的日元 Tibor 将下降或 100 万日元的日元 Libor 将在未来上涨，并且希望避免这种风险，他们可以在相同货币中进行浮动 - 浮动掉期，其中他们支付 100 万日元的 Tibor +10 个基点，并接收 100 万日元的 Libor+35 个基点。通过这样做，他们实际上锁定了 35 个基点的利润，而不是冒着目前的 40 个基点的收益和指数风险。5 个基点的差异来自掉期成本，包括掉期交易商对未来这两个指数利率的市场预期以及买入价/卖出价差，即掉期交易商的佣金。

浮动 - 浮动 (不同货币) 一方 P 以货币 A 支付/接收以 X 为指数的浮动利率，以接收/支付货币 A 的浮动利率，该利率以 Y 为指数，名义本金为 N，初始汇率为 FX，期限为 T 年。例如，您每月支付 1000 万美元的名义本金的季度 100 万美元的美元 Libor，以接收名义本金为 12 亿日元（初始汇率为 USDJPY 120），期限为 4 年的每月日元 3 个月 Tibor。

为了解释这种掉期类型的用途，请考虑一家在美国经营并在日本开展业务的公司。为了为他们在日本的增长提供资金，他们需要 100 亿日元。对于该公司来说，最简单的选择是在日本发行债务。由于该公司可能在日本市场上是新手，在日本投资者中没有良好的声誉，这可能是一个昂贵的选择。除此之外，该公司可能没有在日本进行适当的债务发行计划，并且他们可能缺乏在日本的复杂财务操作。为了克服上述问题，他们可以发行美元债务并将其在汇率市场上转换为日元。虽然此选项解决了第一个问题，但它给公司带来了两个新的风险。1. 汇率风险。如果 USDJPY 现货在债务到期时上涨，那么当公司将日元转换为美元以偿还其到期债务时，他们将收到更少的美元，并遭受损失。2. 美元和日元利率风险。如果日元利率下降，日本投资的回报可能会下降，从而引入利率风险因素。

上述第一个风险敞口可以通过远期外汇合约进行对冲，但这样做会引入新的风险，即 FX 现货和 FX 远期的隐含利率是固定利率，但日元投资回报是浮动利率。尽管有一些替代方案可以有效地对冲这两种风险敞口，而不会引入新的风险，但最简单、最具成本效益的替代方案是使用不同货币的浮动 - 浮动掉期。在此，该公司通过发行美元债务筹集美元，并将其掉期为日元。他们收到美元浮动利率（因此与美元债务的利息支付相匹配），并支付与日元投资回报相匹配的日元浮动利率。

固定 - 固定 (不同货币) 一方 P 以货币 A 支付/接收固定利率，以接收/支付货币 B 的固定利率，期限为 T 年。例如，您支付名义本金为 12 亿日元的固定利率 1.6%，并接收名义本金为 1000 万美元（初始汇率为 USDJPY 120）的固定利率 5.36%。

用法与上述类似，但您接收美元固定利率并支付日元固定利率。

--192.147.54.3 05:07, 29 June 2007 (UTC)M G Naidu

主要用作对冲工具，以应对不同的利息支付。基本概念很容易理解；您可以将固定利率换成浮动利率，反之亦然。对于发行浮动利率债券的公司，它们可以与经纪人或交易商签订掉期协议；公司根据协议向经纪人支付固定利率，经纪人则为公司提供浮动利率，用于支付定期利息。实质上，公司已对冲了其因利率突然上升而产生的风险，因为它在一段时间内被锁定在固定利率。掉期可以通过一方向对方支付一定费用来终止，该费用可能在初始协议签订时已确定，也可能根据未来的支付情况（如果利率保持不变）而确定。

期权

期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个日期或之前以预先确定的价格（执行价格）购买或出售一定数量的股票的权利。它可以定义为两个投资者（即看涨期权卖出者和期权买入者）之间的合同。

股票期权有两种类型

• 看涨期权：看涨期权赋予买入者以行使价格购买给定股票的权利。因此，当买入者看涨标的证券时，通常会买入看涨期权。看涨期权的价值可以通过以下公式计算：

V_c= Max.(V_s-- E,0)

其中，

V_c = 看涨期权的价值

Max = 最大值

0 = 零

V_s = 股票的价值

E = 行使价格或执行价格

盈亏

买入者 = V_c - 保险费

卖出者 = 保险费 - V_c

盈亏平衡点

买入者 = 行使价格 + 支付的保险费

卖出者 = 行使价格 + 收到的保险费

• 看跌期权：类似地，买入看跌期权赋予您以行使价格出售标的股票的权利。当买入者看跌标的证券时，会买入看跌期权。看跌期权的价值可以通过以下公式计算：

V_p= Max(E - V_s-,0)

其中，

V_p = 看跌期权的价值

Max = 最大值

0 = 零

V_s = 股票的价值

E = 行使价格或执行价格

盈亏

买入者 = V_p - 保险费

卖出者 = 保险费 - V_p

盈亏平衡点

买入者 = 行使价格 - 支付的保险费

卖出者 = 行使价格 - 收到的保险费

每个期权都有一个“行使日期”。欧式期权只能在行使日期行使，而美式期权可以在行使日期之前的任何时间行使。

由于看涨期权-看跌期权平价，如果其中一个期权不可用，则可以创建人工看涨期权或看跌期权。看跌期权也可以用作对冲工具，以防标的股票价值下降。

虽然波动率高（修正久期）的股票风险较高，但标的股票波动率高的期权实际上更好。如果股票按照其波动率上涨，它们提供更高的潜在收益，而损失额相同。

远期期权

在这种情况下，期权所基于的标的资产是远期合约。存在远期合约交易的市场。我们不对远期价格的 s.d.e. 强加鞅性。相反，给定当前远期价格 $F(t,T)$，

${\frac {dF(t,T)}{F(t,T)}}=\mu dt+\sigma dW(t)$

为了简化分析，我们假设 $\mu$ 和 $\sigma$ 是正的常数。具有任意行使价格 $K$ 的远期合约的市值是，

$V(t,T)=B(t,T)[F(t,T)-K]$

其中 $B(t,T)=\exp[-r(T-t)]$，而 $r$ 是无风险利率。远期期权赋予期权买入者在未来某个日期 ${\displaystyle T$ 以行使价格 $K$ 和到期日 $T^{*}$ 购买远期合约的权利。让我们以精算方法盲目地对该期权进行定价。这种方法要求期权的价格是通过对远期价格的“真实”分布下的收益期望来计算的，

$C(t,T)=B(t,T)\mathbf {E} _{t}\left\{B(T,T^{*})[F(T,T^{*})-K]^{+}\right\}$

其中，

$F(T,T^{*})=F(t,T^{*})\exp \left[\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)+\sigma {\sqrt {T-t}}U\right]$

以及 $U$ 是一个标准正态随机变量。该期望值有一个简单的解，

$C(t,T^{*})=B(t,T^{*})[Fexp[\mu (T-t)]N(d_{1})-KN(d2)]$

其中，

$d1={\frac {\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+\left(\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$N(x)=Prob(U>x)$ 以及 $d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$。同理，看跌期权的价格由下式给出：

$P(t,T^{*})=B(t,T^{*})[-F\exp[\mu (T-t)]N(-d_{1})+KN(-d2)]$

在没有套利的情况下，看涨看跌平价要求以下等式成立：

$C(t,T^{*})-P(t,T^{*})=V(t,T^{*})$

这等价于：

$F\exp[\mu (T-t)]-K=F-K$

这只有在 $\mu =0$ 的情况下才有可能。这种透明的方法，首先由 Emanuel Derman 和 Nassim Taleb 提出 [2]，在不需要对动态对冲的可行性做出不切实际的假设的情况下，产生了无套利的期权价格。我们所做的唯一假设是关于远期价格的“真实”概率分布函数。如果我们选择更一般的方法，其中 $F(T,T^{*})$ 具有任意概率分布函数，那么看涨期权的价值由下式给出：

$\mathbf {E} _{t}\left\{[F(T,T^{*})-K]^{+}\right\}=\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}{\tilde {P}}(F(T,T^{*})>K)-KP(F(T,T^{*})>K)$

其中$P(\cdot )$ 是“真实”概率分布，而${\tilde {P}}(\cdot )$ 是具有以下性质的概率分布：

$d{\tilde {P}}(F(T,T^{*}))={\frac {F(T,T^{*})}{\mathbf {E} _{t}\{F(T,T^{*})\}}}dP(F(T,T^{*}))$

同样，看跌期权的价值由下式给出：

$\mathbf {E} _{t}\left\{[K-F(T,T^{*})]^{+}\right\}=-\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}{\tilde {P}}(F(T,T^{*})<K)+KP(F(T,T^{*})<K)$

根据看涨看跌期权平价：

$B(t,T^{*})[\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}-K]=B(t,T^{*})[F(t,T)-K]$

因此：

$\mathbf {E} _{t}\left\{F(T,T^{*})\right\}=F(t,T)$

即，在任意“真实”分布下，远期期权的定价使用远期价格的鞅性。

两种资产价格乘积的期权

金融行业的发展催生了被称为“奇异期权”的衍生产品。这些期权通常基于由交易价格衍生出的指数，但这些指数本身并不交易。根据投资者的偏好，指数可以是多个资产价格的函数，并且可以从这些资产价格在单个或一系列观测中的价值确定。奇异期权可以使用分析方法或数值技术进行定价。所有奇异期权的定价框架基于 Black-Scholes 期权定价理论，其中动态套利用于获得期权价格的无套利方程。虽然我们总能为所有奇异期权获得一个偏微分方程，但并非总是能获得解析解。但是，存在大量奇异期权可以得到解析解。两种资产价格乘积的期权就有一个解析解。

给定两种交易资产，可以创建一个指数，其中指数在某个时间$t$ 的价值定义为：

$S(t)={\frac {P_{1}(t)P_{2}(t)}{P_{1}(0)P_{2}(0)}}$

其中$t=0$ 是创建指数的时间，并且$S(0)=1$。可以在该指数上编写期权，并在到期日$T$ 支付：

$C(T)=\max[S(T)-1,0]$

由于期权仅是 $P_{1}$，$P_{2}$ 和 $t$ 的函数，给定两种资产价格的随机微分方程，

${\frac {dP_{1}(t)}{P_{1}(t)}}=m_{1}dt+\sigma _{1}dW_{t}^{1}$

${\frac {dP_{2}(t)}{P_{2}(t)}}=m_{2}dt+\sigma _{2}dW_{t}^{2}$

(其中 $dW_{t}^{1}dW_{t}^{2}=\rho dt$) 伊藤引理可以应用于期权价格，得到，

$dC=\left[{\frac {\partial C}{\partial t}}+m_{1}P_{1}(t){\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}+m_{2}P_{2}(t){\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{1}^{2}P_{1}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{2}^{2}P_{2}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho P_{1}(t)P_{2}(t){\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}\right]dt+\sigma _{1}{\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}P_{1}(t)dW_{t}^{1}+\sigma _{2}{\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}P_{2}(t)dW_{t}^{2}$

因此，包含 1 美元期权、$-\partial C/\partial P_{1}$ 的资产 1 和 $-\partial C/\partial P_{2}$ 的资产 2 的投资组合必须具有以下随机微分方程，

$d\left(C-{\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}P_{1}(t)-{\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}P_{2}(t)\right)=\left[{\frac {\partial C}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{1}^{2}P_{1}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{2}^{2}P_{2}(t)^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho P_{1}(t)P_{2}(t){\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}\right]dt$

由于该投资组合没有风险来源，在没有套利的情况下，它必须具有等于无风险利率的瞬时回报$r$。因此，最后一个方程产生了以下偏微分方程。

$rC={\frac {\partial C}{\partial t}}+rP_{1}{\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}+rP_{2}{\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{1}^{2}P_{1}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{2}^{2}P_{2}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho P_{1}P_{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}$

从该期权的收益函数中，我们可以推断出定价方程可以转化为一个二维方程，变量为$t$ 和 $P=P_{1}P_{2}$。请注意，

${\frac {\partial C}{\partial P_{1}}}=P_{2}{\frac {\partial C}{\partial P}}$

${\frac {\partial C}{\partial P_{2}}}=P_{1}{\frac {\partial C}{\partial P}}$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}^{2}}}=P_{2}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{2}^{2}}}=P_{1}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}C}{\partial P_{1}\partial P_{2}}}=P_{1}P_{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}+{\frac {\partial C}{\partial P}}$

因此，偏微分方程可以简化为：

$rC={\frac {\partial C}{\partial t}}+mP{\frac {\partial C}{\partial P}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}P^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial P^{2}}}$

其中，

$m=2r+\sigma _{1}\sigma _{2}\rho$

并且：

$\sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}$

以及边界条件 $C(T)=\max[P(T)/P(0)-1]$。该偏微分方程是看涨期权的布莱克-斯科尔斯偏微分方程，可以求解得到：

$C(0)=\exp[(m-r)T]N(h_{1})-\exp[-rT]N(h_{2})$

其中，

$h_{1}={\frac {\left(m+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right){\sqrt {T}}}{\sigma }}$

$h_{2}={\frac {\left(m-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right){\sqrt {T}}}{\sigma }}$

同样的结果可以从两种资产的风险中性过程开始得到。

${\frac {dP_{1}(t)}{P_{1}(t)}}=rdt+\sigma _{1}d{\tilde {W}}_{t}^{1}$

${\frac {dP_{2}(t)}{P_{2}(t)}}=rdt+\sigma _{2}d{\tilde {W}}_{t}^{2}$

利用伊藤引理，两种价格乘积的过程为：

${\frac {dP(t)}{P(t)}}=mdt+\sigma dW_{t}$

使用偏微分方程导出的定价方程如下。

高级结构

理论上，期权的价格（或期权溢价）包含两个要素：期权的内在价值和时间价值。因此，溢价 = 内在价值 + 时间价值。

期权的价格包含五个因素：执行价格、标的资产价格、到期时间、无风险利率和波动率。由于前四个因素可以从市场中读出，因此期权价格中唯一未知的因素是波动率。