金融衍生品/随机微积分导论

随机过程

随机过程 $X$ 是随机变量的索引集合

$X_{t}(\omega )$

其中 $\omega \in \Omega$ 是我们的样本空间，而 $t\in T$ 是过程的索引，可以是离散的或连续的。通常，在金融领域， $T$ 是一个区间 $[a,b]$ ，我们处理的是连续过程。在本篇文本中，我们将 $T$ 解释为时间。

如果我们固定一个 $t\in T$ ，随机过程就变成了随机变量

$X_{t}=X_{t}(\omega )$

另一方面，如果我们将随机实验的结果固定为 $\omega \in \Omega$ ，我们将得到时间的确定性函数：过程的实现或样本路径。

随机过程 $W_{t}(\omega )$ ，其中 $t\in [0,\infty ]$ ，如果满足以下条件，则称为维纳过程（或布朗运动）

- $W_{0}=0$

- 它具有独立的、平稳的增量。令 $s\leq t$ ，则： $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ 是独立的。并且 $X_{t}-X_{s}=X_{t+h}-X_{s+h}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)$

- $W_{t}$ 几乎处处连续