金融数学 FM/公式

基本公式

\ a(t)

: 累积函数。衡量在 t 期末，投资于 0 期的 1 元资金的金额。

\ a(t)-a(t-1)

: t 期的增长额。

\ s_{t}={\frac {a(t)-a(t-1)}{a(t-1)}}

: t 期的增长率，也称为 t 期的有效利率。

\ A(t)=k\cdot a(t)

: 金额函数。衡量在 t 期末，投资于 0 期的 k 元资金的金额。它只是常数 k 乘以累积函数。

常见的累积函数

\ a(t)=1+i\cdot t

: 单利。

\ a(t)=\prod _{j=1}^{t}(1+i_{j})

: 变利率

\ a(t)=(1+i)^{t}

: 复利。

\ a(t)=e^{t\cdot i}

: 连续复利。

现值和折现

\ PV={\frac {1}{a(t)}}={\frac {1}{(1+i)^{t}}}=(1+i)^{-t}=v^{t}

\ d_{t}={\frac {a(t)-a(t-1)}{a(t)}}

t 年的有效折现率。

\ 1-d=v

\ d={\frac {i}{1+i}}=i\cdot v

\ i={\frac {d}{1-d}}

名义利率和贴现

i^{(m)}

和

d^{(m)}

是按 m 次复利计息的名义利率的符号。

1+i=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}

i^{(m)}=m\left((1+i)^{\frac {1}{m}}-1\right)

1-d=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{m}

d^{(m)}=m(1-(1-d)^{\frac {1}{m}})

利息力

\delta _{t}={\frac {1}{a(t)}}{\frac {d}{dt}}a(t)={\frac {d}{dt}}\ln a(t)

: 利息力的定义。

a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{r}\,dr}

如果利息力是常数： $a(t)=e^{\delta t}$

PV=e^{-\delta t}

\delta =\ln(1+i)

年金和永续年金

年金

a_{\overline {n|}}={\frac {1-v^{n}}{i}}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}

: 即期年金的现值。

{\ddot {a}}_{\overline {n|}}={\frac {1-v^{n}}{d}}=1+v+v^{2}+\cdots +v^{n-1}

: 偿付在先年金的现值。

{\ddot {a}}_{\overline {n|}}=(1+i)a_{\overline {n|}}=1+a_{\overline {n-1|}}

s_{\overline {n|}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots +1

: 偿付在后年金的终值（在最后一次存款的日期）。

{\ddot {s}}_{\overline {n|}}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d}}=(1+i)^{n}+(1+i)^{n-1}+\cdots +(1+i)

: 偿付在先年金的终值（在最后一次存款后的一个周期）。

{\ddot {s}}_{\overline {n|}}=(1+i)s_{\overline {n|}}=s_{\overline {n+1|}}-1

a_{\overline {mn|}}=a_{\overline {n|}}+v^{n}a_{\overline {n|}}+v^{2n}a_{\overline {n|}}+\cdots +v^{(m-1)n}a_{\overline {n|}}

永续年金

\lim _{n\to \infty }a_{\overline {n|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1}{i}}=v+v^{2}+\cdots =a_{\overline {\infty |}}

: 偿付在后永续年金的现值。

\lim _{n\to \infty }{\ddot {a}}_{\overline {n|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{d}}={\frac {1}{d}}=1+v+v^{2}+\cdots ={\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}

: 永续年金现值的计算。

{\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}-a_{\overline {\infty |}}={\frac {1}{d}}-{\frac {1}{i}}=1

每月年金和永续年金

$a_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}={\frac {i}{i^{(m)}}}a_{\overline {n|}}=s_{\overline {1|}}^{(m)}a_{\overline {n|}}$ : n 年期普通年金现值，每年支付 1 元，每月等额分期支付。

${\ddot {a}}_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}={\frac {i}{d^{(m)}}}a_{\overline {n|}}={\ddot {s}}_{\overline {1|}}^{(m)}a_{\overline {n|}}$ : n 年期预付年金现值，每年支付 1 元，每月等额分期支付。

$s_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i^{(m)}}}$ : n 年期普通年金终值，每年支付 1 元，每月等额分期支付。

${\ddot {s}}_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {(1+i)^{n}-1}{d^{(m)}}}$ : n 年期预付年金终值，每年支付 1 元，每月等额分期支付。

$\lim _{n\to \infty }a_{\overline {n|}}^{(m)}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}={\frac {1}{i^{(m)}}}=a_{\overline {\infty |}}^{(m)}$ : 每年支付 m 次的永续年金现值。

$\lim _{n\to \infty }{\ddot {a}}_{\overline {n|}}^{(m)}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}={\frac {1}{d^{(m)}}}={\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}^{(m)}$ : 每年支付 m 次的永续年金现值，年金在期初支付。

${\ddot {a}}_{\overline {\infty |}}^{(m)}-a_{\overline {\infty |}}^{(m)}={\frac {1}{d^{(m)}}}-{\frac {1}{i^{(m)}}}={\frac {1}{m}}$

连续年金

因为 $\lim _{m\to \infty }i^{(m)}=\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\delta$ ,

$\lim _{m\to \infty }a_{\overline {n|}}^{(m)}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}={\overline {a}}_{\overline {n|}}={\frac {i}{\delta }}a_{\overline {n|}}$ : 每年连续支付的年金（即期或预付）现值。

等差数列的付款：一般来说， $n$ 次付款的现值，其中首次付款为 $P$ ，每次增加的付款为 $Q$ 可以表示为： $A=Pa_{\overline {n|}}+Q{\frac {a_{\overline {n|}}-nv^{n}}{i}}=Pv+(P+Q)v^{2}+(P+2Q)v^{3}+\cdots +(P+(n-1)Q)v^{n}$

同样地： ${\ddot {A}}=P{\ddot {a}}_{\overline {n|}}+Q{\frac {a_{\overline {n|}}-nv^{n}}{d}}$

$S=Ps_{\overline {n|}}+Q{\frac {s_{\overline {n|}}-n}{i}}$ : $n$ 次付款的终值，其中首次付款为 $P$ ，每次增加的付款为 $Q$ 。

${\ddot {S}}=P{\ddot {s}}_{\overline {n|}}+Q{\frac {s_{\overline {n|}}-n}{d}}$

$(Ia)_{\overline {n|}}={\frac {{\ddot {a}}_{\overline {n|}}-nv^{n}}{i}}$ : 首次付款为 1，每次增加的付款为 1 的即期年金的现值；将 $d$ 代入分母中的 $i$ 以获得应计形式。

$(Is)_{\overline {n|}}={\frac {{\ddot {s}}_{\overline {n|}}-n}{i}}$ : 即期年金现值，首期付款为 1，后续每期付款增加 1；将分母中的 $i$ 替换为 $d$ 以获得到期形式。

$(Da)_{\overline {n|}}={\frac {n-{a}_{\overline {n|}}}{i}}$ : 即期年金终值，首期付款为 $n$ ，后续每期付款递减 1；将分母中的 $i$ 替换为 $d$ 以获得到期形式。

$(Ds)_{\overline {n|}}={\frac {n(1+i)^{n}-{s}_{\overline {n|}}}{i}}$ : 即期年金现值，首期付款为 $n$ ，后续每期付款递减 1；将分母中的 $i$ 替换为 $d$ 以获得到期形式。

$(Ia)_{\overline {\infty |}}={\frac {1}{id}}={\frac {1}{i}}+{\frac {1}{i^{2}}}$ : 永续即期年金现值，首期付款为 1，后续每期付款增加 1。

$(I{\ddot {a}})_{\overline {\infty |}}={\frac {1}{d^{2}}}$ : 永续到期年金现值，首期付款为 1，后续每期付款增加 1。

$(Ia)_{\overline {n|}}+(Da)_{\overline {n|}}=(n+1)a_{\overline {n|}}$

${\frac {P}{i}}+{\frac {Q}{i^{2}}}$ : 永续年金现值，首期付款为 $P$ ，每次追加付款增加 $Q$ 。

$(Ia)_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {{\ddot {a}}_{\overline {n|}}-nv^{n}}{i^{(m)}}}$ : 年金现值，每年m次付款，首年付款为 ${\frac {1}{m}}$ ，每年递增，直到第n年付款为 ${\frac {n}{m}}$ 。

$(I^{(m)}a)_{\overline {n|}}^{(m)}={\frac {{\ddot {a}}_{\overline {n|}}^{(m)}-nv^{n}}{i^{(m)}}}$ : 年金现值，每年m次付款，首年第1个月末付款为 ${\frac {1}{m^{2}}}$ ，第2个月末付款为 ${\frac {2}{m^{2}}}$ ，以此类推，直到第n年第m个月末付款为 ${\frac {mn}{m^{2}}}$ 。

$({\overline {I}}{\overline {a}})_{\overline {n|}}={\frac {{\overline {a}}_{\overline {n|}}-nv^{n}}{\delta }}$ : 连续年金现值，付款率连续增长。时间t的年付款率为 $t$ 。

$\int _{0}^{n}f(t)v^{t}dt$ : 年金现值，付款率随时间变化，利率固定。

$\int _{0}^{n}f(t)e^{-\int _{0}^{t}\delta _{r}dr}dt$ : 连续变动付款利率和连续变动利率的年金现值。

等比级数付款

${\frac {1-({\frac {1+k}{1+i}})^{n}}{i-k}}$ : 首付款为 1，每期付款增加 $(1+k)$ 倍的即期年金现值。第五章

一般定义

$R_{t}$ : $t$ 时刻的付款。负值代表投资，正值代表回报。

$P(i)=\sum {v^{t}R_{t}}$ : $i$ 利率下的现金流现值。第六章

$R_{t}=I_{t}+P_{t}$ : $t$ 年末的付款，分为利息 $I_{t}$ 和偿还本金 $P_{t}$ 。

$I_{t}=iB_{t-1}$ : $t$ 年末支付的利息。

$P_{t}=R_{t}-I_{t}=(1+i)P_{t-1}+(R_{t}-R_{t-1})$ : $t$ 年末偿还的本金。

$B_{t}=B_{t-1}-P_{t}$ : 第 $t$ 年年末，支付完款后剩余的余额。

关于分期偿还贷款

$I_{t}=1-v^{n-t+1}$ : 第 $t$ 年末，在 $a_{\overline {n|}}$ 贷款上的利息支付。

$P_{t}=v^{n-t+1}$ : 第 $t$ 年末，在 $a_{\overline {n|}}$ 贷款上的本金偿还。

$B_{t}=a_{\overline {n-t|}}$ : 第 $t$ 年末，在 $a_{\overline {n|}}$ 贷款上的剩余余额，支付完款后。

对于一笔 $L$ 的贷款， ${\frac {L}{a_{\overline {n|}}}}$ 的等额分期付款将在 $n$ 年内还清。为了在时间 $t$ 衡量利息，本金和欠款，将上述 $I_{t}$ ， $P_{t}$ 和 $B_{t}$ 乘以 ${\frac {L}{a_{\overline {n|}}}}$ ，即 $B_{t}={\frac {L}{a_{\overline {n|}}}}a_{\overline {n-t|}}$ 等。

收益率

I=B-A-C

i={\frac {I}{A+\sum _{t_{k}}C_{t_{k}}(1-t_{k})}}

: 美元加权

(1+i)=\prod _{t_{k}}^{t}\left({\frac {B_{t_{k}}}{B_{t_{k-1}}+C_{t_{k-1}}}}\right)

: 时间加权

偿债基金

$PMT=Li+{\frac {L}{s_{{\overline {n|}}j}}}$ : 使用偿债基金方法的总年度付款，其中 $Li$ 是支付给贷方的利息，而 ${\frac {L}{s_{{\overline {n|}}j}}}$ 是存入偿债基金的存款，将在 $n$ 年内累积至 $L$ 。 $i$ 是贷款的利率，而 $j$ 是偿债基金获得的利率。