有限模型理论/FO 局部性
基本思想：将关系结构中的邻域与用特定语言编写的查询结合起来。就像一块土地和一座具有视觉范围的瞭望塔一样，邻域具有其覆盖的某种范围，而查询可能具有一种操作距离，在其上它们可以关联元素。
此类查询被称为具有局部性属性。现在这个概念可以扩展到整个语言。例如，对于 FO，可以证明所有 FO 查询都具有局部性属性。
具有 1 个关系的宇宙：距离-1-邻居
扩展 a：距离-2-邻居
扩展 b：2 个具有 d-1-邻居的关系
扩展 a+b：...
我们将盖夫曼图定义为结构 S 的所有关系的某种叠加，然后利用它来测量 S 的元素之间的距离，换句话说，在由 S 的关系铺设的路径上，从一个元素走到另一个元素需要多远。
令 S 是一个具有宇宙 U 和关系 Ri 的关系结构。图 G (N, E) 被称为 S 的盖夫曼图，当且仅当 N = U，对于所有 e 存在一些 Ri 中的 r 或 e = (u, u)。
- G 是自反的
- Ri 中的边的方向在 G 中无关紧要
- 如果 S 是一个图，G 基本上是相同的，外加自反性
- 如果 S 是一个有向图，G 基本上是相同的，外加自反性，外加对称性（即边失去方向）
- 如果 S 只有关系 R1 和 R2，G 是它们的并集，外加自反性，外加对称性
- 在示例图像中，盖夫曼图 (a) 是通过“叠加”边，“忘记”方向并添加循环，从 2 个关系（有向图）蓝 (b) 和绿 (c) 派生出来的。
令 S 是一个具有宇宙 U 的结构，其中包含元素 u1、u2 和盖夫曼图 G。G 中 u1 和 u2 之间最短路径的长度...被称为 u1 和 u2 之间的距离（在 S 中）。
令 S 是一个具有宇宙 U 的结构，其中包含子集 U1、U2 和盖夫曼图 G。那么 U1 和 U2 的元素之间的最小距离被称为 U1 和 U2 之间的距离（在 S 中）。
- 元素示例：更短的路径，无限的，零
- 集合示例：路径，零？
首先，球体被定义为结构 S 的元素的子集。接下来，邻域被定义为 S 的部分结构，基于一个球体。
令 S 是一个具有宇宙 U 的关系结构，a 是一个序列，r 是一个自然数。U 的元素的集合被称为以 a 为中心的半径为 r 的球体，B(S, r; a)，当且仅当
B(S, r; a) = { u | d(a, u) le r }
令 B(S, r; a) 是一个以 a 为中心的球体。那么结构 N(Sn, r; a) 被称为 Sn 中 a 的 r-邻域，其中 Sn 具有
- 宇宙 B(S, r; a)
- S 中的每个关系，限制到 B
- a 的元素作为附加常量 a1, ..., a_n
- “局部看起来一样”的示例
- 同构：ai -> bi - 重叠？
- => 等价类随着半径增加而分解 - 没有类交换？
1-邻域：{1, 6,7}，{2, 3,5}，{4}，{8, 9}
2-邻域：{1, 6}，{7}，{2}，{3}，{5}，{4}，{8, 9}