有限模型论/模型论

许多模型论的重要定理在限制到有限情况时不成立，比如哥德尔完备性定理或紧致性定理

紧致性定理的失败

考虑以下句子 σ3

$\exists _{x}\exists _{y}\exists _{z}(x\neq y\land y\neq z\land x\neq z)$

它表示在一个宇宙中至少有 3 个不同的元素。对于不等于 3 的 n，可以轻松扩展 σ3。因此，令 Σ = {σ1, σ2, σ3, ...} 是所有这些句子的无限集合。现在 Σ 显然不能被有限模型满足，尽管 Σ 的每一个有限子集都能被满足。好吧，但这为什么重要？在一般模型论中最有用的工具之一是紧致性定理，它指出：“令 Σ 是 FO 句子的集合。如果 Σ 的每一个有限子集都能被满足，那么 Σ 也能被满足。”但正如刚刚所展示的，这在有限情况下并不成立，因此有限模型论中没有紧致性定理！