浮点数/Epsilon

粒度

浮点数，因为它们只包含一定数量的位，所以具有粒度。 因此它们不能表达无限的​​小数。 这意味着存在一个“最大可能值”ε，它满足以下等式

$1.0\oplus \epsilon =1.0$

这个值被称为浮点系统的机器ε。

Epsilon (ε)

当实数四舍五入到最接近的浮点数时，机器ε构成了相对误差的上限。 这一事实使机器ε在确定许多迭代数值算法的收敛容差方面非常有用。

确定 Epsilon

机器ε 可以根据公式计算

$\epsilon ={b \over 2}\cdot b^{-p}$

因此，对于 IEEE 754 单精度，我们有

$\epsilon =2^{-24}=5.96046447753906\times 10^{-8}$

对于 IEEE 754 双精度，我们有

$\epsilon =2^{-53}=1.11022302462516\times 10^{-16}$

当 $p$ 未知，但 $b$ 已知为 2，则可以通过从一个试探值开始，例如 0.5，然后不断地将该值除以 2，直到 $1.0\oplus \epsilon =1.0$ 为真来找到机器ε。

粒度影响

这种粒度的一个影响是，一些基本的代数性质并不严格成立。 例如，如果我们有三个浮点数，x、y 和 z，我们可以证明

$x+(y+z)\neq (x+y)+z$

当浮点数用于迭代计算时，舍入误差和粒度误差会导致较大的误差。