流体力学应用/B18：冲动式水轮机

“水轮机”一词源于希腊语tyrbē (τύρβη)，意为湍流。水轮机由古斯塔夫·德·拉瓦尔于 1882 年发明。水轮机的现代演示由查尔斯·帕森斯爵士于 1884 年发明。水轮机是一种机器，它利用流体的动能并通过设计的机制将其转化为机械能。水轮机由连接到轴上的若干叶片组成，该轴通常用于驱动发电机。水轮机的基本工作原理是，水轮机的叶片由运动的流体（例如蒸汽、水、气体等）旋转，从而旋转连接到使用此旋转能量进行所需工作的设备的轴。

根据水轮机的工作类型，水轮机可分为两种

上图是冲动式水轮机模型。下图是反动式水轮机模型。

1. 冲动式水轮机：它的叶片由蒸汽在叶片上产生的冲力旋转。它由水桶状叶片和将蒸汽引导至弯曲水桶状叶片的喷嘴组成。

1. 反动式水轮机：它的叶片由流体压力或质量产生的扭矩旋转。它由飞机机翼形状的叶片组成。两排可移动叶片由一排固定叶片隔开，固定叶片连接到充当喷嘴的壳体上。

常用术语

1. 压力水头：指的是所考虑流体的势能。
2. 速度水头：指的是所考虑流体的动能。
3. 可压缩流体：指的是密度变化显著的流体。
4. 不可压缩流体：指的是密度变化不大的流体。

冲动式水轮机

在冲动式水轮机中，首先将要使用的流体通过专门设计的喷嘴引导，以将其压力水头转化为速度水头。然后，从喷嘴喷出的所需流体流撞击到弯曲（水桶状）叶片上。该流体的速度水头因此用于提供动量以旋转叶片，从而旋转轴。叶片的设计方式使得流体从喷嘴撞击叶片的方向改变其方向并离开叶片。在此过程中产生的冲动用于为叶片提供动量。这就是我们称这种类型的水轮机为冲动式水轮机的原因。冲动式水轮机的最流行的例子之一是佩尔顿水轮

佩尔顿水轮

佩尔顿水轮是一种水轮机。它是冲动式水轮机最著名的例子。莱斯特·艾伦·佩尔顿在 19 世纪 70 年代发明了这种水轮机。这种水轮机利用的能量来自运动的水。以前制造了许多冲动式水轮机，但它们不如佩尔顿水轮高效。这是因为离开水轮机的水仍然带走了大部分动能，因此无法利用更多的能量。但佩尔顿研究了这个问题，并通过给它叶片几何形状找到了一个巧妙的解决方案。它的设计方式使得即使水轮边缘的速度等于喷嘴喷出水速度的一半，离开的水也几乎没有剩余能量。这样，大多数能量被充分利用了。使其成为非常高效的水轮机设计。

所需功率可以根据需要变化。因此，可以通过枪头机构来满足此需求。这是通过调节枪头的位置来实现的。如果功率需求更大，则枪头将移动到喷嘴出口，如果功率需求更小，则枪头将从喷嘴出口移开。因此，功率需求与水流量同步。喷嘴配有分流器。特殊的叶片设计使得水在 $180^{o}$ 处反转。这种力可以很容易地从牛顿的 $2^{nd}$ 定律推导出。角度被设置为 $180^{o}$ 以最大化冲力。

最大化功率提取

叶片提取的功率，$P=F_{impulse}\times V_{bucket}$ 因此，当冲力和叶片速度的乘积最大时，提取的功率最大。

分析两种情况

1. 叶片保持静止：将产生很大的冲力，但由于叶片保持静止，因此提取的功率将为零。

1. 叶片速度与射流速度相同 : 如果发生这种情况，那么水射流将无法击中叶片，导致冲力为零。因此，再次没有提取功率。

数学分析

入口和出口处的速度三角形

水施加的力=${\dot {m}}(v_{w,i}-v_{w,o})$

功率=${\dot {m}}(v_{w,i}-v_{w,o})U_{1}$

水力效率，$\eta$=${(v_{w,i}-v_{w,o}){U_{1} \over g} \over {U^{2} \over 2g}}$

为了获得最大效率，

$v_{w,i}=U=V_{1}+U_{1}$

$v_{w,o}=U_{1}-V_{r,o}\cos {\phi }$

因此，$P={\dot {m}}(v_{r,i}+v_{r,o}\cos {\phi })$

假设叶片上的摩擦阻力=0

$(v_{r,i}=v_{r,o})$

因此，$P={\dot {m}}U_{1}(U-U_{1})(1+\cos {\phi })$

为了使P达到最大值，${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} U_{1}}}=0$

因此，$U=2U_{1}$

道蒂对佩尔顿水轮性能的分析

供应给涡轮机的净水头h可以如下计算

$h=h''+k{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+m{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}+k''{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$ -------(1)

$h''$ :转化为机械功的水头。

$k{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$:由于转轮内部摩擦和涡流损失而产生的热量损失的能量。

$m{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$:排放时的动能损失。

$k''{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}$:佩尔顿水轮喷嘴的损失。

佩尔顿水斗内流动速度分量的示意图

叶轮利用的热量，

$h''={l \over g}(u_{1}v_{1}-u_{2}v_{2}\cos \alpha _{2})$ -----(2)

使用叶轮中水的相对运动的能量方程。

叶轮内的总水头损失 $={\Bigg (}z_{1}+{\frac {v_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}{\Bigg )}-{\Bigg (}z_{2}+{\frac {v_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}{\Bigg )}$

使用相对速度和公式 1 和 2，我们得到，

${\Bigg (}z_{1}+{\frac {V_{1}^{2}-U_{1}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}{\Bigg )}-{\Bigg (}z_{2}+{\frac {V_{2}^{2}-U_{2}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}{\Bigg )}$

假设 $z_{1}=z_{2},p_{1}=p_{2},u_{1}=u_{2}$

$V_{2}={\frac {V_{1}}{\sqrt {1+k}}}={\frac {v_{1}-U_{1}}{\sqrt {1+k}}}$

叶轮上的切向力， $F_{t}={\dot {m}}{\bigg (}U-u_{2}-V_{2}\cos \beta {\bigg )}$

$F_{t}={\dot {m}}{\Bigg (}1-{\frac {\cos \beta _{2}}{\sqrt {1+k}}}{\Bigg )}(V_{1}-U_{1})$

$P={\dot {m}}{\Bigg (}1-{\frac {\cos \beta _{2}}{\sqrt {1+k}}}{\Bigg )}(V_{1}-U_{1})U_{1}$

(注意：在实际情况中，不能假设$U=v_{1}$始终为真，并且喷流总是以一定角度撞击叶片)