流体力学应用/B19：粘性流动
湍流中靠近壁面的区域存在三个区域
- 壁层：粘性剪切力占主导地位。
- 外层：湍流剪切力占主导地位。
- 重叠层：两种剪切力都很重要。
从现在开始，让我们同意从速度 中去掉上划线。令 为壁面剪切应力，令 和 分别代表外层边缘的厚度和速度。
对于壁层，普朗特在1930年推断出 必须与剪切层厚度无关
通过量纲分析，这等价于
u +=u/u*=F(yu*/v)
u*=(τw/ρ)1/2
上述方程称为壁面定律，u* 称为摩擦速度，因为它具有 {LT-1} 的量纲，尽管它实际上不是流动速度。随后，卡门在1933年推断出外层中的 u 与分子粘度无关，但它与流速 U 的偏差必须取决于层厚度 和其他性质
(U-u)outer =g(δ,τw,ρ,y)
同样，通过量纲分析，我们将其改写为
(U-u)/u*=G(y/δ)
其中 u* 具有相同的含义。这个方程称为外层的速度亏损定律。壁面定律和亏损定律都被发现对各种实验性的湍流管道和边界层流动是准确的 [1 到 3]。它们的形状不同，但它们必须在中间层平滑地重叠。1937年，C.B. 米利肯表明，只有当重叠层速度随 y 对数变化时，这才是可能的
u*/u = (1/K)ln(yu*/v) +B
重叠层
在整个湍流光滑壁面流动的范围内，无量纲常数 K 和 B 被发现具有近似值 K= 0.41 和 B=5.0 上述方程称为对数重叠层。
因此，通过量纲推理和物理洞察力，我们推断出在湍流剪切层中，u 对 ln y 作图将显示一个弯曲的壁面区域、一个弯曲的外层区域和一条直线对数重叠区域。下图显示了这种情况的确如此。
所示的四个外层定律曲线都与对数重叠定律平滑地融合，但由于它们在外压梯度上的变化，因此具有不同的幅度。壁面定律遵循线性粘性关系
u+ =u/u* = yu*/v = y+
从壁面到大约 y+ =5，因此弯曲到大约 y+ =30 时与对数定律融合。
湍流模型是一个非常活跃的领域。目前，一项研究仅限于将对数定律用于管道和边界层问题。
-ρU'V' =τ(turbulent) =μdu/dy
其中
μ =ρL²du/dy
其中 μ 是流动的性质，而不是流体的性质，称为涡粘度，可以用各种方法建模，而 L 称为湍流涡旋的混合长度。靠近固体壁面，L 大致与距壁面的距离成正比，根据卡门
L = ky
其中
k = 卡门常数 = 0.41
我们已经看到，在湍流中，如果我们对连续性和动量方程中的速度和压力取时间平均值，那么简化的连续性方程与原来相同，但简化的动量方程发生了变化，导致流动中产生了湍流应力，其中靠近壁面时层流剪切力占主导地位，而外层时湍流剪切力占主导地位，中间区域称为重叠层。我们还看到了对内层、外层和重叠层定律的实验验证，这些定律描述了湍流壁面流中的速度分布，其中实际上近似于整个速度分布，除了当压力在流向下游强烈增加时，外层定律除外。现代湍流模型近似于三维湍流，并为湍流动能、湍流耗散和六个雷诺应力等量使用额外的偏微分方程。
- 流体力学（SI 单位）- 第七版，作者：弗兰克·M·怀特。
- 工程流体力学，作者：K.L. 库马尔教授
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