流体力学应用/B44：风车和风力涡轮机

简介

风车是一种机器，它利用被称为帆或叶片的叶片将风能转换为旋转能。

之所以称为“风车”，是因为这些装置最初是为粮食生产而研发的；随着时间的推移，风车机械被改造成用于提供除磨粉以外的许多工业和农业需求的动力，因此这个名字保留了下来。大多数现代风车以风力涡轮机（用于发电）或风力泵（用于抽水，无论是排干土地还是抽取地下水）的形式存在。风力涡轮机是一种将风能转化为电能的装置。用于为电池充电的风力涡轮机可能被称为风力充电器。

风车历史：风车早在公元前 200 年就在波斯（现在的伊朗）使用。亚历山大的希罗的风轮标志着历史上首次利用风力为机器提供动力的已知案例之一。然而，已知的第一批实用风车是在公元 7 世纪在伊朗东部省份西斯坦建造的。这些“Panemone”是垂直轴风车，它们有一个长长的垂直驱动轴，上面有矩形的叶片。这些风车由六到十二个帆组成，帆布用芦苇席或布料覆盖，用于研磨谷物或抽水，并在磨坊和甘蔗工业中使用。风车在中世纪首次出现在欧洲。它们在英国使用的第一份历史记录可以追溯到 11 世纪或 12 世纪，有报道称德国十字军在 1190 年左右将他们的风车制造技术带到了叙利亚。到 14 世纪，荷兰风车被用来排水莱茵河三角洲的区域。第一个发电的风力涡轮机是一个电池充电机，由苏格兰学者詹姆斯于 1887 年 7 月安装。

工作原理

风力涡轮机的工作原理很简单。大气中温度（以及压力）差异导致的移动空气的能量。太阳的辐射加热空气，迫使空气上升。反之，当温度下降时，会形成低压区域。风（即气流）平衡了这些差异。因此，风能是太阳能转化为移动空气的动能。风能转换器（WECs）——或简称：风力涡轮机——通过将其转换为旋转运动来捕获气流，然后驱动传统发电机发电。

风力涡轮机类型

• 水平轴风力涡轮机：水平轴风力涡轮机（HAWT）的主转子轴和发电机位于塔顶，必须指向风向。小型涡轮机由简单的风向标指向，而大型涡轮机通常使用风传感器与伺服电机配合使用。大多数涡轮机都有一个齿轮箱，将叶片的缓慢旋转转换为更快的旋转，这更适合驱动发电机。

  Advantages:                                       
   1: Higher wind speeds
   2: Great efficiency
 Disadvantages:
   1: Angle of turbine is relevant
   2: Difficult access to generator for repairs

• 垂直轴风力涡轮机：垂直轴风力涡轮机（或 VAWTs）的主转子轴垂直排列。

 Advantages                                       
   1: Can place generator on ground                   
   2: You don’t need a yaw mechanism for wind angle     
 Disadvantage
   1: Lower wind speeds at ground level 
   2: Less efficiency and require a push

风力涡轮机设计和组件

风力涡轮机设计是确定风力涡轮机从风中提取能量的形式和规格的过程。 风力涡轮机安装包括从风中捕获能量、将涡轮机指向风向、将机械旋转转换为电能以及其他系统（用于启动、停止和控制涡轮机）所需的必要系统。

风力涡轮机组件

  1-Foundation 
  2-Connection to the electric grid 
  3-Tower 
  4-Access ladder  
  5-Wind orientation control (Yaw control) 
  6-Nacelle 
  7-Generator 
  8-Anemometer 
  9-Electric or Mechanical Brake 
 10-Gearbox 
 11-Rotor blade  
 12-Blade pitch control 
 13-Rotor hub.

使用的公式

德国物理学家阿尔伯特·贝茨推导出一个公式来从涡轮机中提取风能。贝茨定律：贝茨定律计算了可以从风中提取的最大功率，与开放流中风力涡轮机的设计无关。该定律是从通过理想化的“执行器盘”流动的气流的质量守恒和动量守恒原理推导出来的，该气流从风流中提取能量。根据贝茨定律，没有涡轮机可以捕获超过风中动能的 16/27（59.3%）。因子 16/27（0.593）被称为贝茨系数。

证明

  ASSUMPTION:
  1. The rotor does not possess a hub, this is an ideal rotor, with an infinite number of blades which have no drag. Any resulting drag 
     would only lower this idealized value.
  2. The flow into and out of the rotor is axial. This is a control volume analysis, and to construct a solution the control volume must 
     contain all flow going in and out, failure to account for that flow would violate the conservation equations.
  3. The flow is incompressible. Density remains constant, and there is no heat transfer.
  4. Uniform thrust over the disc or rotor area

数学模型

下表显示了该模型中使用的各种变量的定义

E = 动能(J)

ρ = 密度(kg/m3)

m = 质量 (kg)

A = 扫掠面积(m2)

v = 风速(m/s)

Cp = 功率系数

P = 功率 (W)

r = 半径 (m)

dm/dt = 质量流量(kg/s)

x = 距离 (m)

dE/dt = 能量流量 (J/s)

t = 时间 (s)

在恒定加速度下，具有质量 m 和速度 v 的物体的动能等于在力 F 作用下将该物体从静止状态移动到距离 s 所做的功 W，即

$E=W=Fs$

根据牛顿定律，我们有：$F=ma$

因此，$E=mas$ … (1)

使用第三个运动方程

$v^{2}=u^{2}+2as$

我们得到

$a=(v^{2}-u^{2})/2s$

由于物体的初速度为零，即

u = 0，我们得到

   $a=v^{2}/2s$

将其代入方程式 (1)，我们得到运动中质量的动能为

$E=(1/2)mv^{2}$

风能的功率由能量变化率给出

$P={\frac {dE}{dt}}=(1/2)v^{2}{\frac {dm}{dt}}$ ...(3)

质量流量由下式给出

${\frac {dm}{dt}}=\rho \cdot A{\frac {dx}{dt}}$

距离变化率由下式给出

${\frac {dx}{dt}}=v$

我们得到

${\frac {dm}{dt}}=\rho \cdot A\cdot v$

因此，根据公式 (3)，功率可以定义为

 $P={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{3}.$   ...(4)

1919 年，德国物理学家阿尔伯特·贝茨得出结论，任何风力涡轮机都无法将风动能的 16/27（59.3%）以上转化为机械能来转动转子。时至今日，这被称为贝茨极限或贝茨定律。任何风力涡轮机设计理论上的最大功率效率为 0.59（即，风力涡轮机最多只能提取风能的 59%）。这被称为“功率系数”，定义为

 $Cpmax=0.59$

此外，风力涡轮机无法以该最大极限运行。该值对于每种涡轮机类型都是唯一的，并且是涡轮机运行风速的函数。一旦我们加入风力涡轮机的各种工程要求，特别是强度和耐用性，现实世界中的限制远低于贝茨极限，即使在设计最佳的风力涡轮机中，常见的数值也为 0.35-0.45。当我们考虑到完整风力涡轮机系统中的其他因素时，例如齿轮箱、轴承、发电机等等，风能只有 10-30% 最终被实际转化为可用电能。因此，需要在公式 (4) 中考虑功率系数，从风能中提取的功率由下式给出

   $P_{\rm {avail}}=C_{\mathrm {p} }\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot A\cdot v^{3}.$   ...(5)

涡轮机的扫掠面积可以通过使用圆面积公式从涡轮机叶片的长度计算得出

$A=\pi r^{2}.\,$ ...(6)

特性参数

功率系数是风力涡轮机空气动力学中最重要变量。可以应用白金汉 π 定理来表明功率的无量纲变量由下式给出。该方程类似于效率，因此典型的值为 0 到小于 1。然而，这并不完全等同于效率，因此在实践中一些涡轮机可能表现出大于 1 的功率系数。在这种情况下，不能得出违反热力学第一定律的结论，因为根据效率的严格定义，这不是效率项。

$C_{P}={\frac {P}{{\frac {1}{2}}\rho AV^{3}}}$

(CP)

其中：$C_{P}$ 是功率系数，$\rho$ 是空气密度，A 是风力涡轮机的面积，最后 V 是风速。

公式 (1) 显示了两个重要的依赖项。第一个是机器运行的速度 (U)。通常使用叶片尖端速度来计算此速度，并将其写为叶片半径与风力旋转速度的乘积（U=omega*r，其中 omega = 以弧度/秒为单位的旋转速度）。^[请澄清]该变量通过风速进行无量纲化，以获得速度比

$\lambda ={\frac {U}{V}}$

(SpeedRatio)

力向量并不简单，如前所述，存在两种类型的空气动力，升力和阻力。因此存在两个无量纲参数。但是这两个变量都以类似的方式进行无量纲化。升力公式如下所示，阻力公式随后给出

$C_{L}={\frac {L}{{\frac {1}{2}}\rho AW^{2}}}$

(CL)

$C_{D}={\frac {D}{{\frac {1}{2}}\rho AW^{2}}}$

(CD)

其中：$C_{L}$ 是升力系数，$C_{D}$ 是阻力系数，$W$ 是风力涡轮机叶片所受到的相对风速，A 是面积，但可能与功率无量纲化的面积不同。

气动力对 W 有依赖关系，这个速度是相对速度，由下面的方程式给出。请注意这是向量减法。

${\vec {W}}={\vec {V}}-{\vec {U}}$

(RelativeSpeed)

基于阻力的风力涡轮机的最大功率

方程式 (1) 将作为本推导的起点。方程式 (CD) 用于定义力，方程式 (RelativeSpeed) 用于相对速度。这些替换给出了以下功率公式。

$P={\frac {1}{2}}\rho AC_{D}\left(UV^{2}-2VU^{2}+U^{3}\right)$

(DragPower)

公式 (CP) 和 (SpeedRatio) 用于将 (DragPower) 表示为无量纲形式

$C_{P}=C_{D}\left(\lambda -2\lambda ^{2}+\lambda ^{3}\right)$

(DragCP)

通过微积分可以证明方程式 (DragCP) 在 $\lambda =1/3$ 处达到最大值。通过观察可以看出方程式 (DragPower) 将在 $\lambda >1$ 处获得更大的值。在这种情况下，方程式 (1) 中的标量积使结果为负。因此，我们可以得出结论，最大功率由以下公式给出

$C_{P}={\frac {4}{27}}C_{D}$

实验表明，一个大的 $C_{D}$ 是 1.2，因此最大 $C_{P}$ 大约为 0.1778。

基于升力的风力涡轮机的最大功率

升力型风机最大功率的推导类似，但有一些修改。首先我们必须认识到阻力总是存在的，因此不能忽略。将证明忽略阻力会导致无限功率的最终解。这个结果显然是无效的，因此我们将继续进行阻力的计算。如前所述，方程式 (1)、(CD) 和 (RelativeSpeed) 将与 (CL) 一起用于定义下面的功率表达式。

$P={\frac {1}{2}}\rho A{\sqrt {U^{2}+V^{2}}}\left(C_{L}UV-C_{D}U^{2}\right)$

(LiftPower)

类似地，这使用方程式 (CP) 和 (SpeedRatio) 进行无量纲化。然而，在这个推导中，参数 $\gamma =C_{D}/C_{L}$ 也被使用

$C_{P}=C_{L}{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}\left(\lambda -\gamma \lambda ^{2}\right)$

(LiftCP)

求解最佳速度比因其对 $\gamma$ 的依赖关系以及最佳速度比是三次多项式解的事实而变得复杂。然后可以应用数值方法来确定此解和相应的 $C_{P}$ 解对于一系列 $\gamma$ 结果。实验表明，在升力系数为 0.6 时，实现约为 0.01 的阻力比 ($\gamma$) 并非不合理。这将导致约为 889 的 $C_{P}$。这大大优于最佳的阻力型机器，因此升力型机器更优越。

风车应用

 -Farm Windmill
 -Golf Course Aeration
 -Cattle Farm Windmill
 -Pond Aeration
 -Residential Water Aeration
 -Fish Ponds and Hatcheries
 -West Nile Virus Prevention