湍流

简介

我们日常生活中遇到的几乎所有流体流动都是湍流。典型的例子包括汽车、飞机和建筑物周围（以及内部）的流动。钝体（如汽车、飞机和建筑物）周围和之后的边界层和尾迹都是湍流的。发动机（活塞发动机、燃气轮机和燃烧器）中的流动和燃烧也是高度湍流的。房间中的空气流动是湍流的，至少在形成壁射流的墙壁附近是湍流的。因此，当我们计算流体流动时，它很可能就是湍流。在湍流中，我们通常将速度分为一个时间平均部分 ¯vi，它与时间无关（当平均流动是稳定的时），以及一个波动部分。

没有关于湍流的定义，但它具有许多特征

I. '不规则性'。湍流是不规则的和混乱的（它们看起来可能是随机的，但它们受 Navier-Stokes 方程控制。流动包含不同尺度（涡流大小）的光谱。

II. '扩散性'。在湍流中，扩散性增加。湍流增加了例如边界层中动量的交换，从而减少或延迟了钝体（如圆柱体、机翼和汽车）的分离。

III. '高雷诺数'。湍流发生在高雷诺数下。例如，管道中向湍流过渡发生的 ReD ≃ 2300，边界层中发生的 Rex ≃ 500 000。

IV. '三维'。湍流始终是三维的和非稳态的。但是，当方程进行时间平均时，我们可以将流动视为二维的（如果几何形状是二维的）

VI. '连续介质'。即使我们有流动中的小湍流尺度，它们也远大于分子尺度，我们可以将流动视为连续介质。

最大尺度与流动几何形状（例如边界层厚度）的大小相当，长度尺度为 ℓ0，速度尺度为 v0。这些尺度从平均流动中提取动能，平均流动的时间尺度与大尺度相当，即

                        Part of the kinetic energy of the large scales is lost to slightly smaller scales with which

大尺度相互作用。通过级联过程，动能以这种方式从最大尺度转移到最小尺度。在最小尺度上，摩擦力（粘性应力）变大，动能转化（耗散）为热能。从涡流到涡流（从一个涡流到一个稍微小的涡流）转移的动能对于每个涡流大小在单位时间内是相同的。

发生耗散的最小尺度称为科尔莫哥洛夫尺度，其速度尺度用 vη 表示，长度尺度用 ℓη 表示，时间尺度用 τη 表示。我们假设这些尺度由粘度 ν 和耗散 ε 决定。论证如下。

粘度

Since the kinetic energy is destroyed by viscous forces it is natural to assume

粘度在决定这些尺度方面起作用；粘度越大，尺度越大。

耗散

要耗散的单位时间能量为 ε。要将动能转化为热能的能量越多，速度梯度就必须越大。

能量谱

如上所述，湍流波动由各种尺度组成。我们可以将它们视为涡流。事实证明，使用傅里叶级数分析湍流通常很方便。一般来说，任何周期为 2L 的周期函数 g（即 g(x) = g(x + 2L)）都可以表示为傅里叶级数。

牛顿流体的不可压缩流动

在牛顿流体的不可压缩流动情况下，方程得到了简化。不可压缩性排除了声传播或冲击波，因此如果这些现象是兴趣所在，则这种简化没有用。即使对于“可压缩”流体（如室温下的空气），不可压缩流动假设通常在低马赫数（高达约 0.3 马赫）下也适用良好。对于不可压缩流动和恒定粘度，纳维-斯托克斯方程如下^[1]

纳维-斯托克斯方程 （不可压缩流动）

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} .$

张量表示法

纳维-斯托克斯方程 （不可压缩流动）

$\rho \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}+f_{i}$

这里f代表“其他”体力（每单位体积），例如重力或离心力。剪切应力项 $\nabla \cdot {\boldsymbol {\mathsf {T}}}$ 变为 $\mu \nabla ^{2}\mathbf {v}$ ，其中 $\nabla ^{2}$ 是矢量拉普拉斯算子。^[2]

完全发展通道流中的壁面区域

壁面附近的区域非常重要。在这里，速度梯度最大，因为速度在很短的距离内降至壁面为零。一个重要的量是壁面剪切应力，定义为 τw = μ ∂¯v1 ∂x2 ____ w 从壁面剪切应力，我们可以定义壁面摩擦速度，uτ ，为壁面摩擦 τ 速度 w = ρu2τ ⇒ uτ = _ τw ρ _1/2

为了更仔细地观察近壁面区域，让我们再次考虑两个无限平板之间的完全发展通道流，

完全发展通道流中的雷诺应力

流动是二维的（¯v3 = 0 且 ∂/∂x3 = 0）。考虑 x2 − x3 平面，因为 x3 方向没有变化，粘性剪切应力 τ32 = μ _ ∂¯v3 ∂x2 + ∂¯v2 ∂x3 _ = 0，因为 ¯v3 = ∂¯v2/∂x3 = 0。湍流部分剪切应力，v′ 2v′ 3，可以使用 Boussinesq 假设（见式 11.32）−ρv′ 2v′ 3 = μt _ ∂¯v3 ∂x2 + ∂¯v2 ∂x3 _ = 0 来表示，它也是零，因为 ¯v3 = ∂¯v2/∂x3 = 0。用同样的论证，v′ 1v′ 3 = 0。但是请注意 v′2 3 = v2 3 6= 0。原因是，尽管时间平均流动

边界层

到目前为止，我们主要讨论了完全发展的通道流。这种流动与边界层流动有什么区别？首先，在边界层流动中，对流项不为零（或可忽略），即式 6.13 的左侧不为零。边界层中的流动是不断发展的，即其厚度 δ 正在增加。边界层中的流动由下式描述。其次，在边界层流动中，壁面剪切应力不是由压降决定的；对流项也必须考虑在内。第三，边界层的外部是高度间歇的，由湍流/非湍流运动组成。然而，边界层内部（x2/δ < 0.1）与完全发展的通道流基本相同，线性区域和对数定律区域对于两种流动非常相似。然而，在边界层流动中，对数定律仅在 x2/δ ≃ 0.1 之前有效（相比之下，在通道流动中，大约为 x2/δ ≃ 0.3）。

参考文献

↑ 见 Acheson (1990)。
↑ Batchelor (1967) 第 21 页和第 147 页。

[Ach-1] 见 Acheson (1990)。

[2] Batchelor (1967) 第 21 页和第 147 页。

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