傻瓜数学/CP1/阿根图

考虑到复数由两部分组成，我们可以将每个复数表示为两个平面上的坐标或向量：实数x轴和虚数y轴平面

使用向量表示法，上述复数可以表示为向量$a \choose b$。因此，我们可以将复数作为向量进行加减运算。或者，我们可以用复数与正实轴所成的角及其大小来表示每个复数。首先，这个角度称为辐角：复变函数中的辐角，主辐角在区域：$-\pi <\arg z\leq \pi$。模长可以计算为：$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$。根据这些事实并使用基本的三角函数，我们可以推导出复数的模长-辐角形式

$${\begin{aligned}|z|&=r,\arg z=\theta \\z&=a+bi\\\cos \theta &={\dfrac {a}{r}},\sin \theta ={\dfrac {b}{r}}\\z&=r(\cos \theta +i\sin \theta )\end{aligned}}$$可以使用此形式推导出复数的几个恒等式，如下所示。由于推导过程过于简单，因此已省略。

$${\begin{aligned}|z_{1}z_{2}|&=|z_{1}||z_{2}|\\\arg(z_{1}z_{2})&=\arg z_{1}+\arg z_{2}\\|{\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}|&={\dfrac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\\\arg({\dfrac {z_{1}}{z_{2}}})&=\arg z_{1}-\arg z_{2}\end{aligned}}$$例题

${\begin{aligned}z_{1}=3(\cos {\dfrac {5\pi }{12}}+i\sin {\dfrac {5\pi }{12}})\\z_{2}=4(\cos {\dfrac {\pi }{12}}+i\sin {\dfrac {\pi }{12}})\\\end{aligned}}$

求 $|z_{1}z_{2}|$ 和 $\arg(z_{1}z_{2})$。

${\begin{aligned}|z_{1}z_{2}|&=|z_{1}||z_{2}|\\|z_{1}|&=3,|z_{2}|=4\therefore |z_{1}z_{2}|=12\\\arg(z_{1}z_{2})&=\arg z_{1}+\arg z_{2}\\\arg z_{1}&={\dfrac {5\pi }{12}},\arg z_{2}={\dfrac {\pi }{12}}\therefore \arg(z_{1}z_{2})={\dfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

因此，将 $z_{1}z_{2}$写成模长-辐角形式，然后写成笛卡尔形式：

${\begin{aligned}z_{1}z_{2}&=12(\cos {\dfrac {\pi }{2}}+i\sin {\dfrac {\pi }{2}})\\z_{1}z_{2}&=12(0+i)=12i\end{aligned}}$

我们可以使用两个复数在复平面上构造一个三角形，其中 ${\textstyle z_{2}-z_{1}}$构成第三条边。