防错数学/CP1/复数

考虑一个只允许正数的数学体系。这将极大地限制可获得的解，例如无法回答“什么是 $5+x=-17$？”。类似的问题出现在多项式中，因为如果没有扩展我们的数字体系，一些多项式将没有解。复数包含所有实数，并引入了虚数单位，$i={\sqrt {-1}}$，使得复数具有 2 个分量

$z=a+bi$其中 $a,b\in \mathbb {R}$。 $bi$是一个虚数。引入了两个函数来区分这两个分量：$Re(z)=a,Im(z)=b$。复数的加减法与代数和根式运算相同，唯一需要注意的是：$i^{2}=-1$，这是一个实数，可以进一步简化。

如前所述，二次方程现在在判别式小于 0 时有解：$b^{2}-4ac<0$意味着二次方程有两个不同的复数解。

实例

1. $i^{3}=i^{2}i=-i$
2. 解方程 ${\textstyle z^{2}+9=0}$：$${\begin{aligned}z^{2}&=-9\\z&=\pm {\sqrt {-9}}=\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt {9}}=\pm 3i\end{aligned}}$$

复数的共轭复数具有相同的实部，但虚部的符号相反。这使我们可以利用平方差公式，使两个复数的乘积成为实数：$${\begin{aligned}z=a+bi\\z^{*}=a-bi\\zz^{*}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}$$我们可以使用之前学过的有理化分母的技巧，通过用分母的共轭复数乘以分数来除以两个复数，即：${\dfrac {z_{1}}{z_{2}}}\times {\dfrac {z_{2}^{*}}{z_{2}^{*}}}$.