形式逻辑/谓词逻辑/目标
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命题逻辑处理完整的句子及其之间的真值函数关系。谓词逻辑处理更细粒度的逻辑特征。本页将非正式地描述谓词逻辑捕获的英语逻辑特征。
我们区分谓词和项。最简单的项是简单的名称，例如“一”，“苏格拉底”或“珀伽索斯”。简单的谓词将属性归因于命名的对象。在
- 苏格拉底是秃头的。
“苏格拉底”是一个名字，“是秃头的”是谓词。我们可以非正式地用以下方式展示它的逻辑结构
- 秃头(苏格拉底)
还有一些更复杂的项，例如“3减2”，“苏格拉底的父亲”和“3除以0”。可以非正式地用以下方式展示这些的逻辑结构
- 减(3, 2)
- 父亲(苏格拉底)
- 商(3, 0)
这些更复杂的项可以用来构建句子，例如
- 3减2是偶数。
- 苏格拉底的父亲是秃头的。
- 3除以零是奇数。
它们的逻辑结构可以非正式地用以下方式展示
- 偶数(减(3, 2))
- 秃头(父亲(苏格拉底))
- 奇数(商(3, 0))
还有一些复杂的谓词，通常称为关系。使用此类谓词的句子包括
- 3大于2
- 苏格拉底是苏格拉底的父亲和苏格拉底的母亲的孩子。
- 珀伽索斯踢了布塞法洛斯。
它们的逻辑结构可以非正式地展示为
- 大于(3, 2)
- 孩子(苏格拉底, 父亲(苏格拉底), 母亲(苏格拉底))
- 踢(珀伽索斯, 布塞法洛斯)
名称和其他项是指特定对象。我们也可以一般性地谈论所有对象或某些（至少一个）对象。以下是一些例子
- 所有数字都是质数。
- 有些数字是质数。
- 有些数字不是质数。
- 没有数字是质数。
前三个的逻辑结构可以非正式地展示为
- 所有x（如果数字(x)，那么质数(x)）。
- 一些x（数字(x)和质数(x)）。
- 一些x（数字(x)和非(质数(x))）。
第四个可以将它的逻辑结构展示为
- 所有x（如果数字(x)，那么非质数(x)。
或者，等效地，
- 非（一些x（数字(x)和质数(x))）。
请注意，我们计算
- 所有独角兽都有角
因为没有独角兽，所以是微不足道的真理。此外，我们认为“一些”意味着至少一个（而不是像预期的那样，至少两个）。因此，我们认为
- 一些质数是偶数
是正确的，即使两个是唯一的偶数质数。
诸如'x'和'y'之类的变量有助于我们保持以下内容的清晰。
- 所有x所有y（如果人(x)和人(y)，那么爱(x, y)）
- 所有x所有y（如果人(y)和人(x)，那么爱(y, x)）
- 这些是等效的，两者都表明每个人都爱每个人。
- 一些x一些y（人(x)和人(y)和爱(x, y)）
- 一些x一些y（人(y)和人(x)和爱(y, x)）
- 这些是等效的，两者都表明有人爱某人。
- 所有x（如果人(x)，那么一些y（人(y)和爱(x, y)））
- 一些y（人(y)和所有x（如果人(x)，那么爱(x, y)））
- 第一个说每个人都爱某人（或其他人——他们不一定要爱同一个人）。第二个说有人被每个人爱。因此，第二个，但不是第一个，要求一个被普遍爱的人。
- 所有x（如果人(x)，那么一些y（人(y)和爱(y, x)））
- 一些y（人(y)和所有x（如果人(x)，那么爱(y, x)））
- 第一个说每个人都被某人（或其他人——不一定是同一个人）爱。第二个说这个人爱每个人。因此，第二个，但不是第一个，要求一个普遍的爱人。
按照惯例，我们可以暂时限制正在考虑的对象的范围。例如，可以采用只谈论人们的政策。这样的惯例将使我们有希望乐观地认为
- 所有x一些y爱(y, x)
而不希望杯子和碟子因此被爱。句子的真假可以在此类惯例或政策的背景下进行评估。在不同的背景下，不同的惯例可能被证明更方便。例如，只谈论人们的政策会阻止我们说
- 爱(亚历山大大帝, 布塞法洛斯)
但是，将领域扩大到包括马和人，确实允许我们这样说。
我们将讨论的对象范围称为域，有时称为论域。在一种域的背景下为真的句子在另一种域的背景下可能为假。
按照惯例开发的谓词逻辑，以及这里将要开发的谓词逻辑，有两个限制。
- 首先，谓词逻辑假设至少存在一个事物。例如，我们不能将论域限制为独角兽。
- 其次，名称和复杂项必须是指域中的对象。因此，我们不能使用诸如
- 珀伽索斯
- 3除以0
此外，如果我们将域限制为自然数，我们就不能使用诸如
- 2减3
失去“3除以0”反过来要求谓词逻辑避免使用“除以”形成任何项。失去“2减3”要求谓词逻辑避免使用“减”形成任何项，除非是在包含负数的域的背景下。