形式逻辑/谓词逻辑/真值

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真值

模型中的真值

我们已经定义了模型中带有变量赋值的满足性。我们表达了公式$\varphi \,\!$在模型${\mathfrak {M}}\,\!$下，带有变量赋值$\mathrm {s} \,\!$为

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \,\!$

现在我们也可以说，公式$\varphi \,\!$被模型${\mathfrak {M}}\,\!$（不限于特定的变量赋值）满足，如果$\varphi \,\!$在${\mathfrak {M}}\,\!$下，对于所有变量赋值都被满足。因此

${\mathfrak {M}}\ \vDash \varphi \,\!$

当且仅当

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \ {\mbox{for every}}\ \mathrm {s} \ .\,\!$

如果在 $\varphi ,\,\!$ 中没有出现自由变量（也就是说，如果 $\varphi \,\!$ 是一个句子），那么 $\varphi \,\!$ 在模型 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中为真。

变量赋值使我们能够在进行公式的语义分析时处理自由变量。对于两个变量赋值，$\mathrm {s_{1}} \,\!$ 和 $\mathrm {s_{2}} \,\!$，$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s_{1}} \rangle \,\!$ 的满足与 $\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s_{2}} \rangle \,\!$ 的满足不同，当且仅当该公式具有自由变量。但句子没有自由变量。因此，一个模型至少满足一个变量赋值的句子，当且仅当它满足所有变量赋值的句子。以下两个定义是等价的

• 句子 $\varphi \,\!$ 在 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中为真，当且仅当存在一个变量赋值 $\mathrm {s} \,\!$，使得

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \ .\,\!$

• 句子 $\varphi \,\!$ 在 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中为真，当且仅当对于每个变量赋值 $\mathrm {s} ,\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \varphi \ .\,\!$

后者只是

• 句子 $\varphi \,\!$ 在 ${\mathfrak {M}}\,\!$ 中为真的一个符号变体。

${\mathfrak {M}}\ \vDash \varphi \ .\,\!$

示例

有限模型

示例模型

在上一页，我们查看了以下模型和变量赋值。

对于模型 $I_{\mathfrak {M}}\ :\,\!$

$|{\mathfrak {M}}|\ =\ \{1,\,2,\,3\}\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(a_{0}^{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(b_{0}^{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(c_{0}^{0})\ =\ 2\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(f_{0}^{2})\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}\ {\mbox{such that:}}\quad {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,0)=2,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,1)\ =\ 1,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,2)=0,\,\!$

${\mathfrak {f}}_{0}^{2}(1,\,0)=1,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(1,\,1)\ =\ 0,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(1,\,2)=2,\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(2,\,0)=0,\,\!$

${\mathfrak {f}}_{0}^{2}(2,\,1)=2,\ {\mbox{and}}\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(2,\,2)=1\ .\,\!$

$I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F_{0}^{2}} )\ =\ \{\langle 0,\ 1\rangle ,\ \langle 1,\ 2\rangle ,\ \langle 2,\ 1\rangle \}\ .\,\!$

对于变量赋值 $\mathrm {s} \ :\,\!$

$\mathrm {s} (x_{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$\mathrm {s} (y_{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$\mathrm {s} (z_{0})\ =\ 2\ .\,\!$

示例结果

我们注意到以下结果

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,b),\ \mathrm {F} (b,c),\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (c,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (a,a))\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,f(a,b))\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (f(a,b),a)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (a,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (b,a)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \forall x\,\forall y\,(\mathrm {F} (x,y)\rightarrow \mathrm {F} (y,x))\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \exists x\,\exists y\,(\mathrm {F} (x,y)\land \mathrm {F} (y,x))\,\!$

我们之前也注意到，对于句子（但对一般的公式并不适用），如果一个模型用至少一个变量赋值满足该句子，那么当且仅当它对所有变量赋值都满足该句子。因此，上面列出的结果适用于所有变量赋值，而不仅仅是 $\mathrm {s} \,\!$.

应用我们的真值定义，我们得到

$(1)\quad \mathrm {F} (a,b),\ \mathrm {F} (b,c),\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (c,b)\ {\mbox{are True in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(2)\quad \mathrm {F} (a,a)\ {\mbox{is False in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(3)\quad \mathrm {F} (a,f(a,b))\ {\mbox{is True in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(4)\quad \mathrm {F} (f(a,b),a)\ {\mbox{is False in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(5)\quad \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (a,b)\ {\mbox{is True in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(6)\quad \mathrm {F} (c,b)\rightarrow \mathrm {F} (b,a)\ {\mbox{is False in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(7)\quad \forall x\,\forall y\,(\mathrm {F} (x,y)\rightarrow \mathrm {F} (y,x))\ {\mbox{is false in }}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

$(8)\quad \exists x\,\exists y\,(\mathrm {F} (x,y)\land \mathrm {F} (y,x))\ {\mbox{is true in}}\ {\mathfrak {M}}\ .\,\!$

这对应于前一页的目标 (1) 到 (8)。我们现在已经实现了这些目标。

无限模型

示例模型

在模型页面上，我们还考虑了一个无限模型 $I_{\mathfrak {M_{2}}}\ :\,\!$

$|{\mathfrak {M}}_{2}|=\{0,1,2,...\}\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(a_{0}^{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(b_{0}^{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(c_{0}^{0})\ =\ 2\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(f_{0}^{2})\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}\ {\mbox{such that}}\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(u,v)=u+v\ .\,\!$

$I_{{\mathfrak {M}}_{2}}(\mathrm {F_{0}^{2}} )\ =\ \{\langle x,\ y\rangle :\ x<y\}\ .\,\!$

我们可以重复使用上面相同的变量赋值，即$\mathrm {s} \ :\,\!$

$\mathrm {s} (x_{0})\ =\ 0\ .\,\!$

$\mathrm {s} (y_{0})\ =\ 1\ .\,\!$

$\mathrm {s} (z_{0})\ =\ 2\ .\,\!$

扩展变量赋值的例子

在模型页面上，我们列出了对我们定义的以下目标。

$f(a,b)\ {\mbox{resolves to}}\ 1\ \mathrm {in} \ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

这不需要我们对真值或满足的定义；它只需要评估扩展的变量赋值。对于任何在$I_{\mathfrak {M}}\,\!$ 上定义的$\mathrm {s} \,\!$ 我们有

${\overline {\mathrm {s} }}(f(a,b))\ =\ I_{\mathfrak {M}}(f)\,(\ {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\ )\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(\ {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\ )\,\!$

$=\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(\ I_{\mathfrak {M}}(a),\,I_{\mathfrak {M}}(b)\ )\ =\ {\mathfrak {f}}_{0}^{2}(0,\,1)\,\!$

$=\ 0+1\ =\ 1\ .\,\!$

示例结果，不带量词

我们还在模型页面上列出了以下目标。

$(9)\quad \mathrm {F} (a,b)\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (b,c)\ {\mbox{are True in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

$(10)\quad \mathrm {F} (c,b)\ {\mbox{and}}\ \mathrm {F} (a,a)\ {\mbox{are False in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

首先我们注意到

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,b)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\rangle \ =\ \langle 0,\,1\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \mathrm {F} (b,c)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(b),\,{\overline {\mathrm {s} }}(c)\rangle \ =\ \langle 1,\,2\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (c,b)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(c),\,{\overline {\mathrm {s} }}(b)\rangle \ =\ \langle 2,\,1\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}},\ \mathrm {s} \rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (a,a)\ \ {\mbox{because}}\ \langle {\overline {\mathrm {s} }}(a),\,{\overline {\mathrm {s} }}(a)\rangle \ =\ \langle 0,\,0\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ .\,\!$

实际上

$\langle 0,\,1\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 0<1\,\!$

$\langle 1,\,2\rangle \ \in \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 1<2\,\!$

$\langle 2,\,1\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 2\not <1\,\!$

$\langle 0,\,0\rangle \ \notin \ I_{\mathfrak {M}}(\mathrm {F} )\ \ {\mbox{because}}\ \ 0\not <0\ .\,\!$

因为公式 (9) 和 (10) 是句子，

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \vDash \mathrm {F} (a,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \vDash \mathrm {F} (b,c)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (c,b)\ .\,\!$

$\langle {\mathfrak {M}}\rangle \ \not \vDash \mathrm {F} (a,a)\ .\,\!$

根据真值的定义，我们发现 (9) 和 (10) 的目标已经实现。 (9) 中的句子为真，而 (10) 中的句子为假。

带有量词的示例结果

此外，我们在 模型页面 上列出了以下目标。

$(11)\quad \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (x,y)\ {\mbox{is true in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

$(12)\quad \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (y,x)\ {\mbox{is false in}}\ {\mathfrak {M}}_{2}\ .\,\!$

对应于 (11)

$(13)\quad \langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (x,y)\,\!$

当且仅当对于域中的每个 i，以下对于域中的至少一个 j 为真：

$\langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} [x\!:\,i,x\!:\,j]\rangle \ \vDash \mathrm {F} (x,y)\ .\,\!$

但 $\mathrm {F_{0}^{2}} \,\!$ 被分配了“小于”关系。因此，上述成立当且仅当对于域中的每个成员，存在一个更大的域成员。鉴于域是 $\{0,1,2,...\},\,\!$，这显然是正确的。因此，(13) 为真。鉴于 (11) 和 (12) 的公式是一个句子，我们发现以 (11) 表示的目标得到了满足。

对应于 (12)

$(14)\quad \langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} \rangle \ \vDash \forall x\,\exists y\,\mathrm {F} (y,x)\,\!$

当且仅当对于域中的每个 i，以下对于域中的至少一个 j 为真：

$\langle {\mathfrak {M_{2}}},\ \mathrm {s} [x\!:\,i,x\!:\,j]\rangle \ \vDash \mathrm {F} (y,x)\ .\,\!$

当且仅当对于域中的每个成员，都存在一个比它更小的域成员时，该命题才成立。但是，域中不存在比 0 更小的成员。因此，(14) 为假。公式 (12) 和 (14) 不能被 ${\mathfrak {M_{2}}}\,\!$ 满足，其中变量赋值为 $\mathrm {s} \,\!$。公式 (12) 和 (14) 是一个句子，因此不能被 ${\mathfrak {M_{2}}}\,\!$ 满足，无论变量赋值如何。公式 (12) 和 (14) (一个句子) 为假，因此满足了 (12) 的目标。