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构建复杂推导

一个示例推导

子推导可以嵌套。例如，我们提供一个论证的推导

$\mathrm {P} \land \mathrm {R} \rightarrow \mathrm {T} ,\ \ \mathrm {S} \land \lnot \mathrm {T} ,\ \ \mathrm {S} \rightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$   ∴   $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$

我们从前提开始，然后假设结论的前件。

注意。每次我们开始一个新的子推导并进入一个临时假设时，我们希望在结束推导并放缩假设时推导出一个特定的公式。为了使事情更容易理解，我们将这个公式添加到假设的注释中。这个公式不会正式成为注释的一部分，也不会影响推导的正确性。相反，它将作为一个非正式的提醒，提醒我们自己要去哪里。

1.   $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \rightarrow \mathrm {T} \,\!$   前提 2.   $\mathrm {S} \land \lnot \mathrm {T} \,\!$   前提 3.   $\mathrm {S} \rightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$   前提   4.     $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$   假设    $[\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$

这将启动一个子推导，以推导出论证的结论。现在我们将尝试一个析取消去（DE）来推导出它的后件

$\lnot \mathrm {R} \,\!$

这将需要显示我们需要的两个条件式，即 DE 的前件行，即

$\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$

和

$\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$

我们从第一个条件句开始。

5.       $\mathrm {P} \,\!$   假设    $[\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       6.         $\mathrm {R} \,\!$   假设    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$

这个子推导很容易完成。

7.         $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \,\!$   5, 6 KI 8.         $\mathrm {T} \,\!$   1, 7 CE 9.         $\lnot \mathrm {T} \,\!$   2 KE

现在我们准备撤销第 5 行和第 6 行的两个假设。

10.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   6–9 NI     11.     $\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   5–10 CI

现在是时候进行我们在第 4 行计划的第二个条件句了。我们开始。

12.       $\mathrm {Q} \,\!$   假设    $[\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       13.         $\mathrm {R} \,\!$   假设    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$ 14.         $\mathrm {S} \,\!$   2 KE 15.         $\lnot \mathrm {Q} \,\!$   3, 14 CE

请注意，第 12 行和第 15 行之间存在矛盾。但是第 12 行的位置不对。我们需要把它放到与第 15 行相同的子推导中。下面第 16 行和第 17 行的一个小技巧将实现这一点。然后就可以撤销第 12 行和第 13 行的假设。

16.         $\mathrm {Q} \land \mathrm {Q} \,\!$   12, 12 KI 17.         $\mathrm {Q} \,\!$   16 KE       18.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   13–17 NI     19.     $\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   12–18 CI

最后，有了第 4 行、第 11 行和第 19 行，我们可以执行自第 4 行以来一直想要的 DE。

20.     $\lnot \mathrm {R} \,\!$   4, 11, 19 DE

现在通过撤销第 4 行的假设来完成推导。

21.   $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   4–20 CI

完整的推导

这是完成的推导。

1.   $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \rightarrow \mathrm {T} \,\!$   前提 2.   $\mathrm {S} \land \lnot \mathrm {T} \,\!$   前提 3.   $\mathrm {S} \rightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$   前提   4.     $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$   假设    $[\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$     5.       $\mathrm {P} \,\!$   假设    $[\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       6.         $\mathrm {R} \,\!$   假设    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$ 7.         $\mathrm {P} \land \mathrm {R} \,\!$   5, 6 KI 8.         $\mathrm {T} \,\!$   1, 7 CE 9.         $\lnot \mathrm {T} \,\!$   2 KE       10.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   6–9 NI     11.     $\mathrm {P} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   5–10 CI     12.       $\mathrm {Q} \,\!$   假设    $[\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} ]\,\!$       13.         $\mathrm {R} \,\!$   假设    $[\lnot \mathrm {R} ]\,\!$ 14.         $\mathrm {S} \,\!$   2 KE 15.         $\lnot \mathrm {Q} \,\!$   3, 14 CE 16.         $\mathrm {Q} \land \mathrm {Q} \,\!$   12, 12 KI 17.         $\mathrm {Q} \,\!$   16 KE       18.       $\lnot \mathrm {R} \,\!$   13–17 NI     19.     $\mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   12–18 CI 20.     $\lnot \mathrm {R} \,\!$   4, 11, 19 DE   21.   $\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {R} \,\!$   4–20 CI