形式逻辑/命题逻辑/命题联结词的性质

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命题联结词的性质

这里列出了一些更著名、历史上重要或其他有用的等价式和重言式。它们可以添加到联结词的互定义中列出的那些。我们可以在这里继续下去，但会尝试保持列表的简洁。请记住，对于每个$\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 的等价式，都存在一个相关的重言式 $\varphi \leftrightarrow \psi \,\!$.

二值性

每个公式都有且仅有一个真值。

$\vDash \ \mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {P} \,\!$      排中律

$\vDash \ \lnot (\mathrm {P} \land \lnot \mathrm {P} )\,\!$      矛盾律

与算术定律的类比

算术中的一些熟悉定律在命题逻辑中也有类比。

自反性

条件语句和双条件语句（但不是合取和析取）是自反的。

$\vDash \ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {P} \,\!$

$\vDash \ \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {P} \,\!$

交换律

合取、析取和双条件语句（但不是条件语句）是交换的。

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {Q} \lor \mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {P} \,\!$

结合律

合取、析取和双条件（但非条件）是结合律。

$(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \land (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$

$(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\lor \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$(\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \leftrightarrow (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$

分配律

我们列出了十个分配律。其中，可能最重要的的是合取和析取互相分配，以及条件分配自身。

$\mathrm {P} \land (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land (\mathrm {P} \land \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \land (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {P} \land \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\land (\mathrm {P} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\rightarrow (\mathrm {P} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \lor (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \lor \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\,\!$$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$       $(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

传递性

合取、条件和双条件（但非析取）是传递的。

$\vDash \ (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \land \mathrm {R} )\rightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {R} \,\!$

$\vDash \ (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\vDash \ (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\land (\mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {R} )\rightarrow (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {R} )\,\!$

其他重言式和等价式

条件句

这些重言式和等价式主要关于条件句。

$\vDash \ \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \qquad \qquad \vDash \ \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

$\vDash \ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \qquad \qquad \vDash \ \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$

$\vDash \ (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$

$\vDash \ \lnot \mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      条件加法

$\vDash \ \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      条件加法

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$       $\lnot \mathrm {Q} \rightarrow \lnot \mathrm {P} \,\!$      逆否命题

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} \,\!$       $\mathrm {P} \rightarrow (\mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {R} )\,\!$      导出规则

双条件句

这些重言式和等价关系主要与双条件句有关。

$\vDash \ \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      双条件加法

$\vDash \ \lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \rightarrow (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\,\!$      双条件加法

$\vDash (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\lor (\mathrm {P} \leftrightarrow \lnot \mathrm {Q} )\,\!$

$\lnot (\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\,\!$       $\lnot \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} \,\!$       $\mathrm {P} \leftrightarrow \lnot \mathrm {Q} \,\!$

其他

我们重复了来自可表达性部分的可表达性中的德摩根定律，并添加了两种额外形式。我们还列出了一些额外的重言式和等价关系。

$\vDash \ \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {P} \,\!$      幂等 对于合取

$\vDash \ \mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {P} \,\!$      幂等 对于析取

$\vDash \ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$      析取加法

$\vDash \ \mathrm {Q} \rightarrow \mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$      析取加法

$\vDash \ \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$       $\lnot (\lnot \mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {Q} )\,\!$      德摩根定律

$\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} \,\!$       $\lnot (\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\,\!$      德摩根定律

$\lnot (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\,\!$       $\lnot \mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {Q} \,\!$      德摩根定律

$\lnot (\mathrm {P} \lor \mathrm {Q} )\,\!$       $\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \,\!$      德摩根定律

$\mathrm {P} \,\!$       $\lnot \lnot \mathrm {P} \,\!$      双重否定

演绎和归约原理

以下两个原理将在后面的一页中构建我们的推导系统时使用。它们可以很容易地被证明，但是——因为它们既不是重言式，也不是等价式——仅仅使用真值表是不够的。我们这里不尝试证明。

演绎原理

设 $\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 都是公式，设 $\Gamma \,\!$ 是一组公式。

$\mathrm {If} \ \ \Gamma \cup \{\varphi \}\vDash \psi \mathrm {,\ then} \ \ \Gamma \vDash (\varphi \rightarrow \psi )\,\!$

归约原理

设 $\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 都是公式，设 $\Gamma \,\!$ 是一组公式。

$\mathrm {If} \ \ \Gamma \cup \{\varphi \}\vDash \psi \ \ \mathrm {and} \ \ \Gamma \cup \{\varphi \}\vDash \lnot \psi \mathrm {,\ then} \ \ \Gamma \vDash \lnot \varphi ,\!$

$\mathrm {If} \ \ \Gamma \cup \{\lnot \varphi \}\vDash \psi \ \ \mathrm {and} \ \ \Gamma \cup \{\lnot \varphi \}\vDash \lnot \psi \mathrm {,\ then} \ \ \Gamma \vDash \varphi \,\!$

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