形式逻辑/命题逻辑/有效性

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公式的满足性和有效性

满足性

在命题逻辑中，一个公式为真的解释被认为是满足该公式。在谓词逻辑中，满足的概念稍微复杂一些。一个公式是可满足的当且仅当它在至少一个解释下为真（也就是说，当且仅当至少一个解释满足该公式）。真值表的示例表明以下句子是可满足的。

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )$

举一个更简单的例子，公式 $\mathrm {P} \,\!$ 是可满足的，因为它在任何将 $\mathrm {P} \,\!$ 赋值为真值的解释下都为真。

我们使用符号 ${\mathfrak {v}}\vDash \varphi$ 来表示解释 ${\mathfrak {v}}\,\!$ 满足 $\varphi \,\!$。如果 ${\mathfrak {v}}$ 不满足 $\varphi ,$ 那么我们写 ${\mathfrak {v}}\not \vDash \varphi .$

满足的概念也可以扩展到公式集。一个公式集是可满足的，当且仅当存在一个解释，在这个解释下该集合中的每个公式都是真的（也就是说，这个解释满足该集合中的每个公式）。

一个公式是不可满足的，当且仅当不存在一个解释，在这个解释下它是真的。一个简单的例子是

$\mathrm {P} \land \lnot \mathrm {P} \,\!$

通过真值表很容易确认，无论解释将 $\mathrm {P} \,\!$ 赋值为什么真值，这个公式都是假的。我们说不可满足的公式是逻辑上假的。可以说，命题逻辑的不可满足公式（但不是谓词逻辑的）是重言式地假的。

有效性

一个公式是有效的，当且仅当它在每个解释下都满足。例如，

$\mathrm {P} \lor \lnot \mathrm {P} \,\!$

是有效的。通过真值表很容易确认，无论解释将 $\mathrm {P} \,\!$ 赋值为什么值，它都是真的。我们说有效的句子是逻辑上真的。我们称命题逻辑的有效公式（但不是谓词逻辑的）为重言式。

我们使用符号 $\vDash \varphi$ 来表示 $\varphi$ 是有效的，而 $\not \vDash \varphi$ 表示 $\varphi$ 不是有效的。

等价

当且仅当两个公式在完全相同的解释下都为真时，它们才被称为等价。你可以通过真值表轻松确认，任何满足 $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$ 的解释也满足 $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$。此外，任何满足 $\mathrm {Q} \land \mathrm {P} \,\!$ 的解释也满足 $\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \,\!$。因此它们是等价的。

我们可以使用以下方便的符号来表示 $\varphi \,\!$ 和 $\psi \,\!$ 是等价的。

$\varphi \,\!$ $\psi \,\!$

当且仅当

$\vDash \ (\varphi \leftrightarrow \psi )\,\!$

论证的有效性

一个论证是指一组被指定为前提的公式，以及一个被指定为结论的单一句子。直观地说，我们希望前提共同构成相信结论的理由。就我们的目的而言，论证是任何一组前提加上任何结论。对于一些特别愚蠢的论证来说，这可能有点人为，但论证的逻辑属性并不取决于它是否愚蠢，也不取决于任何人是否实际上或可能认为前提是相信结论的理由。我们认为论证是好像一个人确实或可能认为前提是结论的理由，而与任何人在实际上或可能这样做无关。即使是空前提集加上一个结论也被视为一个论证。

以下示例展示了使用几种符号表示的相同论证。

符号 1

$\mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

因此 $\mathrm {Q} \,\!$

符号 2

$\mathrm {P} \,\!$

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

∴ $\mathrm {Q} \,\!$

符号 3

$\mathrm {P} \,\!$

${\underline {\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} }}\,\!$

$\mathrm {Q} \,\!$

符号 4

$\mathrm {P} ,\ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$   ∴   $\mathrm {Q} \,\!$

一个论证有效当且仅当满足所有前提的每一个解释也满足结论。有效论证的结论是其前提的逻辑结果。我们可以用 $\Gamma \,\!$ 作为其前提集和 $\psi \,\!$ 作为其结论，使用以下符号。

(1)    $\Gamma \vDash \psi \,\!$

(2)    $\Gamma \ \not \vDash \ \psi \,\!$

例如，我们有

$\{\mathrm {P} ,\ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \}\ \vDash \ \mathrm {Q} \,\!$

论证的有效性，或逻辑结果，是驱动我们构建逻辑直觉的中心概念。我们想知道我们的论证是否为好的论证，也就是说，它们是否代表着好的推理。我们想知道一个论证的前提是否构成相信结论的充分理由。有效性是好的论证的一个必要特征。但它不是唯一的必要特征。至少有一个错误前提的有效论证是无用的。有效性是真理保持特征。它不能告诉我们结论是真实的，只能告诉我们论证的逻辑特征是，如果前提为真，那么结论也为真。有真前提的有效论证是健全的。

好的论证还有其他不太正式的特征。仅仅因为前提为真，并不意味着人们相信它们，我们有理由相信它们，或者我们可以收集证据来证明它们。还应该注意的是，有效性只适用于某些类型的论证，特别是演绎论证。演绎论证旨在有效。演绎论证的典型例子是数学证明。归纳论证，科学论证是其典型例子，并非旨在有效。前提的真实性并非旨在保证结论的真实性。相反，前提的真实性旨在使结论的真实性极有可能或有可能。在科学中，我们不打算提供数学证明。相反，我们收集证据。

公式和论证

对于每一个有效的公式，都存在一个相应的有效论证，该论证以有效的公式为其结论，以空集为其前提集。因此

$\vDash \psi \,\!$

当且仅当

$\varnothing \vDash \psi \,\!$

对于每个具有有限前提的有效论证，都存在一个对应的有效公式。考虑一个结论为 $\psi \,\!$，前提为 $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n}\,\!$ 的有效论证。

$\varphi _{1},\ \varphi _{2},\ ...,\ \varphi _{n}\vDash \psi \,\!$

那么存在一个对应的有效公式

$\varphi _{1}\land \varphi _{2}\land ...\land \varphi _{n}\rightarrow \psi \,\!$

对应于有效论证

$\mathrm {P} ,\ \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$   ∴   $\mathrm {Q} \,\!$

以下有效公式

$\mathrm {P} \land (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

蕴含

你可能会看到一些将我们的箭头 $\rightarrow \,\!$ 解释为“蕴含”，并将“蕴含”用作“条件句”的替代词。这通常被认为是使用-提及错误。在普通英语中，以下被认为是语法正确的

(3)    “有烟就意味着有火”。

(4)    “有烟” 蕴含 “有火”。

在 (3) 中，我们有一个事实或命题或其他任何东西（哲学家目前最喜欢的是命题）蕴含另一个相同类型的東西。在 (4) 中，我们有一个句子蕴含另一个句子。

但以下被认为是不正确的

有烟意味着有火。

这里，与 (3) 相比，没有引号。没有东西是主体进行蕴含，也没有东西是被蕴含的对象。相反，我们是在用较小的句子组成一个更大的句子，好像“蕴含”是一个语法连接词，比如“只有如果”。

因此，逻辑学家倾向于避免使用“蕴含”来表示条件句。相反，他们使用“蕴含”来表示具有逻辑结果，并使用“蕴含”来表示有效论证。在这样做的时候，他们遵循的是 (4) 而不是 (3) 的模型。特别是，他们将 (1) 和 (2) 解释为 '$\Gamma \,\!$ 蕴含（或不蕴含） $\psi \,\!$。

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