微积分、狭义相对论和量子力学基础/导数

微积分领域基于三个基本概念：极限、导数和积分。其中，极限是最基本的，是导数和积分的基础。本章将介绍极限，然后由此构建导数。下一章，积分，将介绍积分。本文假设读者已经熟悉一维或多维函数的基本概念及其符号（例如 $f(x)=y$ 或 $f(x,y)=z$ ）。

极限

极限写作：

\lim _{x\to X}f(x)=Y

读作“当 $x$ 趋近于 $X$ 时， $f(x)$ 的极限为 $Y$ ”。这意味着，当函数的输入变量 $x$ 取值任意接近指定值 $X$ 时，输出 $f(x)$ 将任意接近极限值 $Y$ 。对于感兴趣的人，可以使用 ε-δ 论证精确地定义极限。

右边的图是以下极限的图形表示：

\lim _{x\to 2}f(x)=f(2)

乍一看，这似乎是一个微不足道的陈述，但许多在微积分学习中遇到的极限并不那么直截了当。在这里，函数输入变量的指定值为 $2$ ，而 $x$ 的任意接近的值由 $2+\delta$ 和 $2-\delta$ 表示。同样，这里的极限值为 $f(2)$ ，而 $f(x)$ 的任意接近的值由 $f(2)+\varepsilon$ 和 $f(2)-\varepsilon$ 表示。从图中可以看出，当 $x$ 在 $2\pm \delta$ 内的任何值越接近 $2$ ，相应的 $f(x)$ 值（落在 $f(2)\pm \varepsilon$ 内），将越来越接近 $f(2)$ 。因此，这个极限等于，或被定义为 $f(2)$ 。

极限并不总是可以在任何给定点被定义。当一个函数在 $X$ 处有渐近线时，就会出现一个简单的例子，并且 $f(x)$ 不断逼近的唯一值为无穷大！在这种情况下，我们有一个等于无穷大的极限，这是未定义的。

\lim _{x\to X}f(x)=\infty

限制也可以在任意多个维度中定义，这引入了另一种可能的未定义限制情况。其原理相同，即当输入变量趋近于某个指定值时，输出趋近于极限值。然而，随着输入变量的增多，当分别考虑不同的输入变量时，输出有可能趋近于不同的极限值。在这种情况下，极限未定义。

是否在函数域中的某个点或点集处定义了极限，这在人们希望使用函数的导数和积分时将变得重要。这将在接下来的章节中变得更加清楚。

一阶导数

导数是一个函数，它描述了另一个函数的变化率。可以说，最基本的导数形式，一阶导数可以用函数的图形来概念化。函数 $y=f(x)$ 的一阶导数给出了 $y$ 随 $x$ 变化的变化率。考虑函数 $f(x)=x$ 的图形，该图形绘制在右侧的第一个图中。在这个函数中，很明显，如果 $x$ 增加一个单位， $y$ 也会增加一个单位。这意味着 $y$ 随 $x$ 变化的变化率是一个单位每单位，或者简称为一。这意味着该函数的一阶导数始终等于一，写成这样

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=1

请注意，从基本代数来看，函数 $f(x)=x$ 的斜率为一。因此，在这种情况下，函数的导数等于函数的斜率。这里的 $\mathrm {d}$ 符号称为微分元，表示一个极小的变化。因此，这里写出的导数是 $y$ 的极小变化除以 $x$ 的极小变化。这通常用作一阶导数的记号，但它不是正式定义。一阶导数的正式定义给出了一个公式，该公式描述了所讨论函数的变化率，并使用极限来确定上面提到的“极小变化”。公式如下

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

这里， $x$ 的变化用 $h$ 表示，而 $y$ 的变化则用（最终值 - 初始值）的形式表示。在这种情况下，初始值由 $f(x)$ 给出，最终值由 $f(x+h)$ 给出。考虑到这一点，极限内的商明显地给出了图上任意两点之间的平均变化率，这两个点被某个 $h$ 分隔开。

这可以通过在两点之间画一条割线来直观地表示，如右图第二张图所示。同样从代数中可以清楚地看到，前面讨论的商等于这条割线的斜率。这个斜率当然在整个割线上是恒定的，因为它实际上是一条直线。然而，被描绘函数的瞬时变化率不是恒定的。随着 $x$ 值的增加， $y=f(x)$ 的值开始随着每个 $x$ 越来越快地增加。根据其概念定义，一阶导数应该表示函数中任何特定点的这个变化率，而不是函数区间内的单个平均值。因此，这里的割线斜率与函数的导数不一致。

这就是极限发挥作用的地方。对于任何 $h$ 值，这条割线将给出区间内的平均变化率，而不是单个点的变化率。一个点的变化率可以通过切线来表示，切线只与函数内的一个点相切。这里可以通过将两点之间的 $x$ 距离，或 $h$ 设置为零来利用这个两点商。然而，这将在分母中放置一个零，使商未定义。为了解决这个问题，可以考虑商的极限 $\lim _{h\to 0}$ 。

当求值时，这个极限将产生一个新函数（而不是像第一个例子中那样只是一个常数），这个函数给出了原始函数中任何点的切线斜率。这个新函数是原始函数的一阶导数。

可微性

一阶导数可能不会在每个函数的每个点上都定义。如果函数 $f(x)$ 的一阶导数对于某个点 $x$ 定义，那么 $f(x)$ 被称为在 $x$ 处可微。如果导数在函数域的每个点上都存在，那么可以简单地说整个函数是一个可微函数。

考虑函数域中的一个点，使得函数在该点不可微。函数的导数在此处不存在。从概念上讲，这意味着在此点无法绘制唯一的切线。一个简单的例子是绝对值函数， $f(x)=|x|$ ，在右侧的下一张图中绘制。考虑点在 $x=0$ 。在这里，图形形成一个尖角，可以看出可以绘制任意数量的切线。因此，此函数的导数在此处没有明确定义，并且函数在此点不可微。

在数学上，这意味着一阶导数的定义没有定义。对于任何 $f(x)$ 定义的点，这仅在极限 $\lim _{h\to 0}$ 不存在时发生。

多元导数

函数的二阶导数只是函数的一阶导数的导数。类似地，三阶导数是二阶导数的导数。这个想法可以扩展到形成任意数量的后续导数，其中 $y=f(x)$ 的**n^th阶导数**通常写成

{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}

这个原理的一个概念性例子来自基础物理学。如果函数 $f(x)$ 代表物体的位移，那么函数的一阶导数将代表物体位移的变化率，定义为其速度。二阶导数将代表物体速度的变化率，定义为其加速度。三阶导数将代表物体加速度的变化率（通常称为“加加速度”），等等。

对于某些函数，在得到的结果函数不再可微之前，只能进行有限数量的求导。对于其他函数，无论已经求导了多少次，都可以继续求导。这种函数被称为**无限可微**。

偏导数

当函数依赖于多个变量时，使用**偏导数**。它也给出了函数输出的变化率，但仅针对一个输入变量，而其他变量保持不变。考虑一个函数 $w=f(x,y,z)$ 。关于 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的三个偏导数将写成

{\frac {\partial w}{\partial x}},{\frac {\partial w}{\partial y}},{\frac {\partial w}{\partial z}}

读作“ $w$ 对 $x$ 的偏导数”，或者简单地说“偏 $w$ ，偏 $x$ ”（ $y$ 和 $z$ 也是如此）。 $\partial$ 符号读作“偏”，它仍然代表一个微分元素，与 $\mathrm {d}$ 一样。符号上的差异仅仅是为了更清楚地区分偏导数和前面讨论的非偏导数，后者被称为普通导数。可微性和多元导数的原理同样适用于偏导数，就像它们适用于普通导数一样。

符号

多年来，人们已经开发出几种关于导数符号的系统。建议微积分的学生熟悉这些符号系统。下表列出了四种主要符号系统的示例，它们分别写出了函数 $y=f(x)$ 的四种导数。这些示例导数从左到右分别是：关于 $x$ 的一阶普通导数、关于 $x$ 的二阶普通导数、关于 $x$ 的一阶偏导数、关于 $x$ 的二阶偏导数。

莱布尼茨符号	拉格朗日符号	欧拉符号	牛顿符号
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},{\frac {\partial y}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$	$f'(x),f''(x),f_{x},f_{xx}$	$Df,D^{2}f,\partial _{x}f,\partial _{xx}f$	${\dot {y}},{\ddot {y}}$

在这些符号中，莱布尼茨的符号被许多人认为是最清晰的，并且将成为本文采用的约定。值得注意的是，牛顿的符号通常只在力学中特定情况下使用，其中自变量代表时间，导数随后代表每单位时间的变化率，例如速度。虽然该系统中确实存在偏导数的符号，但它并不简单明了，此处不给出示例。建议读者参考维基百科关于微分符号的文章，了解这些符号系统细微差别的详细信息。