物理学基础/一维运动

一维运动的目标是理解加速度 ($a$) 如何驱动速度 ($v$) 和位置 ($x$) 在单个运动方向（一维）上的变化。 “物体”是指任何可以移动的东西，比如球、汽车、卡车或人。 一维是指物体只沿着直线运动，通常沿着 $x$ 轴（如果它向左或向右移动）或沿着 $y$ 轴（如果它向上或向下移动）。 你需要两个公式来完成这部分，

$x=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$,

第二个公式是

$v=v_{0}+a\Delta t$.

如果物体在 $x_{0}$ 位置，速度为 $v_{0}$，那么在时间间隔 $\Delta t$ 之后，$x$ 和 $v$ 将是物体新的位置和速度。这两个公式允许你计算物体的新的位置和速度（$x$ 和 $v$），基于其旧位置和速度（$x_{0}$ 和 $v_{0}$），以及作用在物体上的加速度 $a$，在时间间隔 $\Delta t$ 内。 $\Delta t$ 有时被称为“时间步长”，它是物体拥有 $x_{0}$ 和 $v_{0}$ 与拥有 $x$ 和 $v$ 之间的间隔时间。

我们说过 $a$ 驱动 $v$ 和 $x$ 的变化。注意在这些方程中，如果 $a=0$，那么 $v=v_{0}$，这意味着 $v$ 在时间步长之间没有变化；如果 $a=0$，$v$ 是恒定的。为了使 $v$ 发生变化，$a$ 必须非零。换句话说，物体的速度只有在有加速度的情况下才会改变。对于 $x$ 轴（左右运动），我们有

$x=x_{0}+v_{0x}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{x}\Delta t^{2}$

和

$v_{x}=v_{0x}+a_{x}\Delta t$.

对于 $y$ 轴（上下运动），我们有

$y=y_{0}+v_{0y}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{y}\Delta t^{2}$

和

$v_{y}=v_{0y}+a_{y}\Delta t$.

这些方程是一样的，只是符号不同，非常具体地表明它属于哪个轴。

数值示例

As an example, Suppose you have a sphere at $x=5$ m with speed $v=1$ m/s and an acceleration of $a=0.5$ m/s$^{2}$. When the next frame comes up, say $\Delta t=0.1$ s later, where will the sphere be and what will its speed be? Use the equations to get that $x=5\mathrm {m} +(1\mathrm {m/s} )(0.1\mathrm {s} )+(0.5)(0.5\mathrm {m/s} ^{2})(0.1\mathrm {s} )^{2}$ or $x=5.1025$ m and $v=1\mathrm {m/s} +(0.5\mathrm {m/s} ^{2})(0.1\mathrm {s} )$ or $v=1.05$ m/s. Be sure you see how the equations allowed you to compute the new position and speed of the object over the time step $\Delta t$. You can iteratively use this new $x$ and $v$ as a new $x_{0}$ and $v_{0}$ (i.e. $x\rightarrow x_{0}$ and $v\rightarrow v_{0}$) for computing still another $x$ and $v$ another $\Delta t$ in the future. Can you find $x$ and $v$ after another $\Delta t$ has gone by? In the Figure 3.22 find the acceleration of the masses and the tension in the string.

符号

请特别注意符号。想象一个笛卡尔坐标系，其中 $+x$ 指向右侧，$-x$ 指向左侧，$+y$ 指向上方，$-y$ 指向下，（假设 $\Delta t$ 始终为正值）。正的位置值表示物体位于原点的右侧 ($x$)，或上方 ($y$)。负值表示物体位于原点的左侧 ($x$)，或下方 ($y$)。正的速率值表示物体向右侧 ($v_{x}$) 或向上 ($v_{y}$) 移动，负值表示向左侧 ($v_{x}$) 或向下 ($v_{y}$) 移动。 $a$ 的符号本身并不能立即帮助我们描述物体的运动。然而，如果 $a$ 和 $v$ 符号相同，则 $v=v_{0}+a\Delta t$ 将预测 $v$ 会增加（即如果 $v$ 和 $a$ 符号相同，物体将加速）。同样，如果 $v$ 和 $a$ 符号相反，物体将减速。

当 $v$ 和 $a$ 的符号相反时，意味着 $v$ 会越来越小，直到最终 $v=0$，此时物体将停止运动。如果 $a$ 仍然存在，那么 $v$ 将开始沿与 $a$ 相同的方向增大；现在物体正在加速，但方向与它最初的运动方向相反。总的来说，物体减速，停止，然后开始沿相反方向加速。 $v$ 和 $a$ 之间的符号的所有组合都是可能的。 $v>0$ 并且 $a<0$ 是一个减速并可能转向的情况，与 $v<0$ 并且 $a>0$ 一样。 $v>0$ 并且 $a>0$ 或 $v<0$ 并且 $a<0$ 是加速的情况，但方向相反。最后，你应该能够在物体上画箭头，表示它的 $v$ 和 $a$ 以及那一瞬间。箭头应该指向给定参数的方向，其长度应该与其强度成比例。例如，如果在一个物体上，$v$ 的箭头和 $a$ 的箭头方向相反，那么你就会知道物体正在减速。