物理基础/二维运动

基础

本节的目标是理解物体如何在完全的二维空间中运动。相比之下，一维运动集中在严格沿 $x$ 或 $y$ 轴上的运动。二维运动是指物体沿 $x$ 和 $y$ 轴“同时”进行的运动。物体在二维空间中的位置可以通过其 $(x,y)$ 坐标来绘制。这些坐标可以通过以下方程式找到

$x=x_{0}+v_{0x}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{x}\Delta t^{2}$

以及

$y=y_{0}+v_{0y}\Delta t+{\frac {1}{2}}a_{y}\Delta t^{2}$.

请注意，物体在移动时，其沿两个轴的速度也会发生变化，具体公式如下：

$v_{x}=v_{0x}+a_{x}\Delta t$

以及

$v_{y}=v_{0y}+a_{y}\Delta t$.

自由落体运动中的速度 x 和 y 分量

请记住，$x$ 和 $y$ 坐标相互垂直，也就是说 $x$ 和 $y$ 轴是正交的。这在数学和物理学中是一种特殊的关系，意味着沿一个轴的过程不会影响沿另一个轴的过程。因此，沿 $x$ 轴发生的任何事情都不会影响沿 $y$ 轴发生的事情，反之亦然。这是一个需要理解的关键概念。二维运动有时被称为“抛射运动”，它包含在重力影响下在空间中飞行的物体。棒球、炮弹、在空间中移动的篮球都是抛射运动的例子。在地球表面附近，飞行中的抛射物运动受到限制，其中 $a_{x}=0$ 以及 $a_{y}=-g=-9.8$ m/s²。鉴于这些限制，您可以立即找到 $x=$ 和 $y=$ 方程式的形式。您还可以找到 $v_{x}$ 和 $v_{y}$ 方程式，注意 $v_{x}$ 将始终等于一个常数 (v_x0)，因为根据正交性，g（重力）只影响 y 和 v_y。

向量需求

在任何给定时间，您的物体将有四个量来描述其运动：$x$，$y$，$v_{x}$ 和 $v_{y}$。由于位置和速度现在都有两个分量（或部分），位置和速度将是“向量”，分别称为 ${\vec {r}}$ 和 ${\vec {v}}$。 ${\vec {r}}$ 将由两个分量组成，即物体的 $x$ 和 $y$ 坐标。类似地，${\vec {v}}$ 将由分量 $v_{x}$ 和 $v_{y}$ 组成。正如您将看到的，${\vec {r}}$ 和 ${\vec {v}}$ 的两个分量使它们都具有大小（强度、长度等）和方向，您必须知道如何处理它们。

向量：大小和角度

处理向量有两种方法，你应该熟练掌握这两种方法。第一种方法是“大小-角度形式”，你需要报告向量的**大小**和它指向的角度。对于位置，大小（或从原点到该点的总距离）为$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$。该向量相对于+x轴的角度由$\theta$给出，其中$\theta =\tan ^{-1}{\frac {|y|}{|x|}}$。绝对值符号很重要，它可以消除可能出现的任何负值，并确保角度相对于+x轴。速度向量以类似的方式跟踪，即$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$，其中$\alpha =\tan ^{-1}{\frac {|v_{y}|}{|v_{x}|}}$，其中$\alpha$是速度向量相对于+x轴的角度，本质上是物体在那一瞬间的运动方向。确保你理解为什么向量具有大小和角度，并且确保你能从给定的向量分量计算出两者。

向量：分量形式（或 i,j,k 表示法）

表示向量的另一种方法是使用“分量形式”。在这种形式中，每个分量都紧挨着一个单位向量列出，指定该分量与哪个轴相关联。如果一个物体在 x 轴上移动了 $5$ 米，在 y 轴上移动了 2 米，那么 ${\vec {r}}=5{\hat {i}}+2{\hat {j}}$，其中 ${\hat {i}}$ 和 ${\hat {j}}$ 分别是 x 轴和 y 轴上的单位向量。同样，如果一个物体的速度在 x 方向上的分量为 3 m/s，在 y 方向上的分量为 -2 m/s，那么它的速度向量将为 ${\vec {v}}=3{\hat {i}}-2{\hat {j}}$。在一些数学教科书中，使用等效的括号表示法：${\vec {v}}=[3,-2]$ 等效于 ${\vec {v}}=3{\hat {i}}-2{\hat {j}}$。在这两种表示法中，我们都说 ${\vec {v}}$ 的 x 分量 为 $3$ 个单位，而 y 分量 为 $-2$ 个单位（当用铅笔和纸进行代数运算时，通常会在单位选择对读者来说很明显的情况下省略单位）。这些 x 和 y 分量可以用下标表示：$v_{x}=3$ 和 $v_{y}=-2$

匀速圆周运动

在上一节中，我们研究了当加速度向量为常数时二维空间中的运动，这会导致沿着抛物线路径的运动。另一种简单的运动类型是匀速圆周运动。这里，匀速指的是物体在圆周运动中速度保持不变。在这种类型的运动中，物体始终具有指向圆心方向的加速度向量。如果圆的半径为 $r$，速度为 $v$ 且保持不变，则加速度向量的模为 $a={\frac {v^{2}}{r}}$。虽然加速度的大小保持不变，但加速度向量并非保持不变，因为它的方向相对于时间是变化的。这种加速度被称为“向心加速度”。