GCSE 科学/动能

过山车的汽车在轨道的最低点达到最大的动能。当它们开始上升时，动能开始转化为重力势能，但系统中的总能量保持不变；假设摩擦和其他能量转换因素可以忽略不计。

物体的 **动能** 是由于其运动而具有的额外能量。它被定义为 *将一个给定质量的物体从静止加速到其当前速度所需的功*。物体在加速过程中获得这种能量后，除非其速度改变，否则将保持这种动能。需要相同大小的负功才能将物体从该速度返回到静止状态。

词源

"动能" 这个形容词的根源来自希腊语中的 "运动" (kinesis)。术语 *动能* 和 *功* 及其现在的科学含义可以追溯到 19 世纪中叶。对这些想法的早期理解可以归功于加斯帕德·古斯塔夫·科里奥利，他在 1829 年发表了一篇名为 *Du Calcul de l'Effet des Machines* 的论文，概述了动能的数学理论。

威廉·汤姆森（后来的开尔文勋爵）被认为在 1849 年左右创造了 *动能* 这个术语。

介绍

能量有各种形式：化学能、热能、电磁辐射、势能（重力、电、弹性等）、核能、静止能量。这些可以分为两大类：势能和动能。

动能可以通过展示它如何从其他形式的能量转化而来以及如何转化为其他形式的能量的例子来最好地理解。例如，骑自行车的人会使用食物提供的化学能来加速自行车到选定的速度。这种速度可以保持，无需进一步做功，除了克服空气阻力和摩擦力。能量已经转化为运动的能量，即 **动能**，但这个过程并不完全有效，骑车者体内也会产生热量。

运动中的自行车和骑车者中的动能可以转化为其他形式。例如，骑车者可能会遇到一个刚好可以爬上去的山坡，这样自行车在山顶就会完全停下来。动能现在已经很大程度上转化为重力势能，可以通过在山的另一边自由滑行来释放。（由于自行车损失了一些能量给摩擦力，因此在没有进一步踩踏的情况下，它永远不会恢复所有速度。请注意，能量并没有被破坏；它只是通过摩擦转化为另一种形式。）或者，骑车者可以将一台发电机连接到其中一个车轮上，并在下降过程中产生一些电能。自行车在山底的速度会更慢，因为一些能量被转移到了发电。另一种可能性是骑车者使用刹车，在这种情况下，动能会通过摩擦作为热能消散。

与任何作为速度函数的物理量一样，物体的动能不仅取决于该物体的内部性质。它还取决于该物体与观察者之间的关系（在物理学中，观察者由一类特殊的坐标系正式定义，称为 *惯性参考系*）。像这样的物理量被称为非 *不变* 的。动能与物体共存，并对其引力场有所贡献。

计算

有几个不同的公式可用于计算物体的动能。在许多情况下，它们给出的答案几乎相同，在可测量的精度范围内。如果它们不同，则选择哪个公式取决于物体的速度或大小。因此，如果物体以远小于光速的速度运动，则牛顿（经典）力学将足够精确；但如果速度与光速相当，则相对论将对结果产生重大影响，应使用相对论。如果物体的大小是亚原子的，则量子力学方程最适合。

牛顿动能

刚体的动能

在经典力学中，"点物体"（一个大小可以忽略的物体）或非旋转刚体的动能由方程 $E_{k}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}$给出，其中 m 是质量，v 是物体的速度。

例如，计算一个以 18 米每秒（40 英里每小时）的速度运动的 80 千克质量的动能，计算结果为

${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot 80\cdot 18^{2}=12,960\ \mathrm {joules}$.

请注意，动能随速度的平方而增加。这意味着，例如，一个物体以两倍的速度运动将具有四倍的动能。因此，一辆汽车以两倍的速度行驶需要四倍的距离才能停下来（假设制动力恒定。见机械功）。

因此，可以使用以下公式计算动能

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

其中

E_k 是动能，单位为焦耳

m 是质量，单位为千克，以及

v 是速度，单位为米每秒。

对于质量为 *m* 的物体的 *平移动能*，其质心以速度 *v* 沿直线运动，如上所述，等于

$E_{t}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}$

其中

m 是物体的质量

v 是物体质心的速度。

因此，动能是一个相对的量度，不能说任何物体都具有唯一的动能。火箭发动机可以被看作是将能量传递给火箭飞船或排气流，这取决于选择的参考系。但系统的总能量，即动能、燃料化学能、热能等，无论选择何种测量系，都会保持守恒。

物体的动能与其动量之间的关系由以下方程式给出：

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

推导和定义

在无穷小时间间隔dt内加速粒子的功由力和位移的点积给出：

$\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )$

应用乘积法则，我们可以看到：

$d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} )$

因此（假设质量恒定），我们可以看到：

$\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)$

由于这是一个全微分（即，它只取决于最终状态，而与粒子如何到达那里无关），我们可以对其进行积分，并将结果称为动能：

$E_{k}=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} ={\frac {mv^{2}}{2}}$

该方程式指出，动能（E_k）等于物体的速度（v）与物体动量变化的无穷小量（p）的点积的积分。假设物体在静止（静止不动）时没有动能。

系统的动能

对于单个点或没有旋转的刚体，当物体停止时，动能变为零。

然而，对于包含多个独立运动的物体的系统，它们可能彼此之间施加力，并且可能（也可能不）旋转；这就不再成立了。

这种能量被称为“内能”。

系统在任何时刻的动能，仅仅是所有质量动能的总和，包括旋转带来的动能。

太阳系就是一个例子。在太阳系的质心系中，太阳是（几乎）静止的，但行星和矮行星都在它周围运动。因此，即使在静止的质心系中，也仍然存在动能。

但是，从不同的参考系重新计算能量将很繁琐，但有一个技巧。系统在不同惯性系的动能，可以简单地从质心系的动能总和计算出来，再加上质心系中所有物体质量的动能（如果它们以两个参考系之间的相对速度运动）。

这可以简单地证明：设V为参考系k相对于质心系i的相对速度

$E_{k}=\int {\frac {v_{k}^{2}dm}{2}}=\int {\frac {(v_{i}+V)^{2}dm}{2}}=\int {\frac {(v_{i}^{2}+2v_{i}V+V^{2})dm}{2}}=\int {\frac {v_{i}^{2}dm}{2}}+V\int v_{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm$

然而，令 $\int {\frac {v_{i}^{2}dm}{2}}=E_{i}$ 为质心系中的动能，$\int v_{i}dm$ 将仅仅是总动量，根据定义，在质心系中总动量为零。令总质量：$\int dm=M$ 。代入后，得到：

$E_{k}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}$

因此，系统的动能取决于惯性参照系，相对于质心参照系，动能最低，即在质心静止的参照系中。在任何其他参照系中，都存在着与总质量以质心速度运动相对应的额外动能。

旋转物体

如果刚体绕过质心的任意直线旋转，则它具有旋转动能 ($E_{r}$)，它仅仅是其运动部件的动能之和，因此它等于

$E_{r}=\int {\frac {v^{2}dm}{2}}=\int {\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int {r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}I\omega ^{2}$

其中

ω 是物体的角速度。

r 是任何质量 dm 到该线的距离。

I 是物体的转动惯量 $=\int {r^{2}}dm$

（在该方程式中，转动惯量必须绕过质心的轴线取，ω 度量的旋转必须围绕该轴线进行；对于物体由于其偏心形状而发生摆动的情况，存在更通用的方程式）。

系统中的旋转

有时，将物体的总动能分解为物体质心平动动能和绕质心旋转动能之和比较方便

$E_{k}=E_{t}+E_{r}\,$

其中

E_k 是总动能

E_t 是平动动能

E_r 是静止系中的旋转能或角动能

因此，飞行中的网球的动能是由于其旋转而产生的动能，加上由于其平动而产生的动能。

刚体的相对论动能

在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。分部积分后，我们得到

$E_{k}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})$

记住 $\gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!$，我们得到

$E_{k}=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}+C$

因此

$E_{k}=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))+C=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})+C=m\gamma c^{2}+C\!$

积分常数可以通过观察 $\gamma =1\!$ 当 $\mathbf {v} =0$ 时得出，因此我们得到了通常的公式

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

如果物体的速度是光速的很大一部分，则必须使用相对论力学（阿尔伯特·爱因斯坦提出的相对论）来计算其动能。

对于相对论物体，动量 p 等于

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$,

其中 m 是静止质量，v 是物体的速度，c 是真空中的光速。

因此，将物体从静止加速到相对论速度所需的功为

$E_{k}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}$.

该方程表明，当速度 v 接近光速 c 时，物体的能量趋于无穷大，因此不可能将物体加速穿过此边界。

此计算的数学副产品是质能等价公式——静止的物体必须具有等于

$E_{\mbox{rest}}=mc^{2}\!$

在低速 (v<<c) 下，相对论动能可以用经典动能很好地近似。这是通过二项式近似完成的。实际上，对平方根进行泰勒展开并保留前两个项，我们得到

$E_{k}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}$,

因此，总能量 E 可以被划分为静止质量的能量加上低速下的传统牛顿动能。

当物体以远低于光速的速度运动时（例如，在地球上发生的日常现象中），级数的前两项占主导地位。近似中的下一项对于低速来说很小，可以通过将展开式扩展到泰勒级数再增加一项来找到

$E\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}\right)=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}mv^{4}/c^{2}$.

例如，对于 10 公里/秒的速度，对牛顿动能的修正为 0.07 焦耳/千克（在 50 兆焦耳/千克的牛顿动能上），对于 100 公里/秒的速度，修正为 710 焦耳/千克（在 5 吉焦耳/千克的牛顿动能上），等等。

对于更高的速度，狭义相对论动能的公式是通过从总能量中减去静止质量能得到的

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-1\right)$.

在这种情况下，动能与动量之间的关系更加复杂，由以下公式给出

$E_{k}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$.

这也可以展开成泰勒级数，它的第一项就是牛顿力学中的简单表达式。

这表明能量和动量的公式并非特殊和公理化的，而是从质量与能量的方程和相对论原理中得出的概念。

刚体的量子力学动能

在量子力学领域，电子动能的期望值，$\langle {\hat {T}}\rangle$，对于由波函数$\vert \psi \rangle$描述的电子系统，是一系列单电子算符期望值的总和

$\langle {\hat {T}}\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{\bigg \langle }\psi {\bigg \vert }\sum _{i=1}^{N}\nabla _{i}^{2}{\bigg \vert }\psi {\bigg \rangle }$

其中$m_{e}$是电子的质量，$\nabla _{i}^{2}$是作用于第i个电子的坐标的拉普拉斯算符，求和在所有电子上进行。请注意，这是动量动能非相对论表达式量化后的版本。

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

量子力学的密度泛函形式只要求知道电子密度，即它形式上不需要知道波函数。给定一个电子密度$\rho (\mathbf {r} )$，精确的 N 电子动能泛函是未知的；然而，对于一个电子的特定情况，动能可以写成

$T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r$

其中，$T[\rho ]$被称为魏茨泽克动能泛函。

一些例子

航天器利用化学能起飞并获得相当大的动能以达到轨道速度。发射过程中获得的这种动能在轨道上保持恒定，因为几乎没有摩擦力。然而，在再入大气层时，动能转化为热量，这一点变得很明显。

动能可以从一个物体传递到另一个物体。在台球游戏中，玩家用球杆击打母球，使母球获得动能。如果母球与另一个球发生碰撞，它会明显减速，而它碰撞的球会加速到一定速度，因为动能传递给了它。台球中的碰撞实际上是弹性碰撞，动能得以保存。

飞轮正在被开发为一种储能方式（参见文章飞轮储能）。这说明动能也可以是旋转的。请注意，关于飞轮的文章中用于计算旋转动能的公式不同，但类似。

笔记

参考文献

• Serway, Raymond A. (2004). Physics for Scientists and Engineers (第 6 版 ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. {{cite book}}: |edition= has extra text (help); Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (第 5 版 ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)
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• 圣安德鲁斯大学数学与统计学院 (2000). "Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843) 传记". Retrieved 2006-03-03.
• 牛津词典, 牛津词典 1998