普通天文学/开普勒定律

约翰尼斯·开普勒是一位数学家，他试图推导出一个基本原理集，以解释行星的运动。他相信哥白尼提出的日心说，并且他拥有第谷·布拉赫对行星的一系列丰富观测数据。

经过二十年的艰苦尝试和基于几何学的各种被抛弃的想法后，他终于得出了一个基于椭圆的轨道运动数学模型。开普勒以行星运动三定律的形式总结了他的发现，通常分别称为开普勒第一定律、第二定律和第三定律。

• 开普勒第一定律，也被称为椭圆定律——行星的轨道是椭圆，太阳位于一个焦点上。
• 开普勒第二定律，或等时间等面积定律——行星与太阳之间的直线在行星轨道平面上扫过相等面积，所用时间也相等。
• 开普勒第三定律，或和谐定律——行星绕太阳运行所需的时间，称为周期，与椭圆长轴的一半的3/2次方成正比。比例常数对所有行星都是一样的。它通常被称为和谐定律，因为它显示了距离和周期之间的和谐关系。

当时他制定这些定律时，还没有一个发展完善的引力理论能够解释为什么行星以观察到的方式运动。后来，艾萨克·牛顿利用他的万有引力平方反比定律理论，证明了开普勒定律是如何符合天体力学的科学理论的。

椭圆轨道

椭圆是一种由圆锥体对角切片形成的形状。它本质上是圆形在一定角度下的形状。

你可以用一张纸、两枚图钉、一根线圈和一支铅笔来画一个椭圆。两枚图钉穿过纸张插入合适的表面，为椭圆提供两个焦点。它们应该比线圈的长度更靠近。将线圈放在这些图钉的底部，留一些松弛。现在将铅笔放置在图钉和线圈形成一个三角形的位置，在弦上施加轻微的张力。

现在尝试在保持弦线绷紧的情况下，绕着图钉移动铅笔来画一个形状。结果应该是一个椭圆。通过使图钉更靠近或更远，可以改变椭圆的形状。根据开普勒的说法，这种形状定义了行星绕太阳运行时的路径。

开普勒第一定律——行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于一个焦点上。

开普勒第二定律简而言之，就是物体越靠近太阳速度越快，离得越远速度越慢。当太阳到轨道路径的距离越长时，只需遍历更小的弧线就可以扫过需要在太阳附近遍历更宽弧线的区域。

当行星沿着轨道靠近太阳时，引力会使其速度增加。相反，当行星远离太阳时，太阳的引力会逐渐减慢它的速度，使其减速。

开普勒第二定律——绕太阳运行的行星扫过相等的面积 $A$ 在相同的时间间隔内 $t$ 。

将椭圆一分为二并穿过椭圆最宽部分的直线称为长轴。垂直于该轴线并将椭圆一分为二的直线称为短轴。长轴长度的一半称为半长轴，用 $a$ 表示。行星完成一次完整轨道所需的时间用 $P$ 表示。周期P与半长轴长度$a$之间的关系被称为开普勒第三定律，可以表示为：

$P^{2}\propto a^{3}$

其中符号∝表示“与...成正比”，这意味着周期平方与半长轴立方之间存在直接的数学关系。

第二定律和第三定律为计算任何绕太阳运行的行星的周期以及确定行星将在轨道路径上的哪个位置提供了基础。

偏心率和轨道路径

焦点到椭圆中心的距离与半长轴的比率称为轨道的偏心率。当椭圆的两个焦点重叠时，偏心率正好为0.0，形状为圆形。随着偏心率的增加，绕轨道运行的行星远离近地点的距离比最近点远得多。我们太阳系中行星的轨道偏心率从水星的0.21到金星的0.0068不等。

最近点接近点的科学名称为近日点，而最远距离分离点为远地点。在行星绕太阳运行的情况下，它们分别称为近日点和远日点。（-helion后缀来自希腊太阳神Helios的名字。这个词也是元素氦名称的来源。）

两个具有相同长轴 $a$ 但偏心率不同的椭圆轨道。

也许开普勒第三定律最不直观的一点是，对于任何两个绕太阳运行、具有相同半长轴的相同天体，其轨道周期都是相同的。即使一个天体以完美的圆形轨道运行，另一个天体以高度椭圆的轨道运行（具有较高的偏心率），这也成立。椭圆形状将完全位于圆形内，除了两点（长轴的端点，两条曲线将在该处相切），因此它实际上是一条更短的轨道路径。但是，椭圆的远日点将位于距离太阳更远的地方，因此行星将在轨道的远端花费更多时间。更短的轨道和远日点的较慢穿越相互抵消，导致与圆形轨道相同的周期。

一些使用开普勒第三定律的例子

最初，开普勒第三定律被用来描述行星绕太阳运行的运动。事实证明，它也适用于其他二体轨道系统，例如卫星绕木星的轨道或双星绕其系统质心的轨道。在所有这些情况下，轨道周期的平方与半长轴的立方成正比，轨道系统之间的差异反映在比例常数中。

在本节中，我们将考虑行星绕太阳运行的特殊情况。如果我们选择以天文单位 (AU) 为单位来测量轨道半长轴的长度（1 AU 是地球到太阳的距离），并且以年 (缩写为 $y$) 为单位来测量轨道周期，那么我们可以将开普勒第三定律表示为

$P^{2}=\left({\frac {y^{2}}{AU^{3}}}\right)a^{3}$

其中 $P$ 以年为单位，$a$ 以天文单位为单位。以下是一些如何使用此方程的示例。

火星的轨道周期

对火星轨道的重复测量表明，其轨道半长轴的长度为 1.52 AU。火星绕太阳运行一周需要多长时间？

解：在本问题中，我们要求火星的轨道周期 $P$。从阅读问题中我们知道，半长轴的长度 $a$ 是 1.52 AU。解开开普勒第三定律以求周期，我们得到

$P=\left({\frac {y}{\sqrt {AU^{3}}}}\right){\sqrt {a^{3}}}=\left({\frac {y}{\sqrt {AU^{3}}}}\right){\sqrt {(1.52AU)^{3}}}=1.87y$

这告诉我们火星绕太阳运行一周需要 1.87 年。

一颗未知小行星的轨道半长轴

一位业余天文学家花了几个月时间跟踪一颗小行星，并确定它绕太阳运行一周大约需要 3/4 年。这颗小行星轨道的半长轴是多少？

解：从阅读问题中我们知道，小行星的轨道周期是 3/4 年，或 0.75 $y$。我们期望找到半长轴的长度 $a$，因此我们需要解开开普勒第三定律来求解它。这样做，我们得到

$a=\left({\frac {AU}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\right){\sqrt[{3}]{P^{2}}}=\left({\frac {AU}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\right){\sqrt[{3}]{(0.75y)^{2}}}=0.83AU$

这意味着它的半长轴位于金星轨道和地球轨道之间。