普通天文学/科学记数法

普通天文学
宇宙简史	科学记数法	科学方法

在前面的章节中，我们讨论了一些非常大的数字。在天文学中，这类巨大数字的出现很常见。这就是天文学家和其他科学家在处理非常大或非常小的数字时使用科学记数法的原因之一。科学记数法是一种书写和处理数字的系统，它使处理非常小或非常大的数字变得更加容易。

例如，银河系大约包含三十二亿吨的物质。这是一个相当繁琐的数字。（天文学家实际上永远不会这样写。相反，他们会说银河系包含太阳质量的一万亿倍，这更容易一些。我们将使用这个更大的数字来演示。）你也可以把这个数字写成

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 吨，

但这更糟糕。科学记数法使数字更加紧凑易读

3 × 10³⁹ 吨。

这个数字在口语中表示为“三乘以十的三十九次方吨”。从数值上来说，它等同于前两个表达式。

使用指数来表示数字，可以使该数字非常快地变得非常大。这使得使用指数表示法来表示非常大或非常小的数字变得很方便。

一个以科学记数法正确书写的数字有两个部分。第一部分是一个大于或等于 1 且小于 10 的数字（但可以是正数或负数）。这有时被称为尾数。第二部分是十的某个整数次方。第二个数字的指数称为幂。以下是一些以科学记数法正确书写的数字的示例：

2 × 10¹⁸

-1.4 × 10²

7.656 × 10^-4

2.1 × 10⁰

另一方面，以下这些不是以科学记数法书写数字的有效示例

0.1 × 10⁴ 是错误的，因为尾数小于 1

12 × 10³ 是错误的，因为尾数不小于 10

8.4 × 10^2.2 是错误的，因为幂不是整数

请记住

10ⁿ = 10 × 10 × 10 × ... n 次，

这意味着十的 n 次方等于 10 自乘 n 次，也就是 1 后面跟着 n 个零。例如，10³ 等于 10 × 10 × 10，也就是 1000。这意味着我们之前提到的数字 3 × 10³⁹ 吨，等同于

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 吨，

也就是 3 后面跟着 39 个零。以科学记数法书写的数字，如果幂为负数，则对应一个小数。例如，数字 1 × 10⁻³ 在常规记数法中写成 0.001。一般来说，

10^-n = 1/10 × 1/10 × 1/10 × ... n 次。

这些是将以科学记数法表示的大数转换为标准记数法的步骤。写下尾数并找到小数点的位置，然后根据幂指示的数字移动小数点。这里，幂是 9，所以小数点向右移动九位。 这些是将以科学记数法表示的小数转换为标准记数法的步骤。将小数转换为标准记数法的步骤与将大数转换为标准记数法的步骤相同，但小数点应该向左移动，而不是向右移动。

由于科学记数法依赖于十的幂，因此将数字从科学记数法转换为标准记数法或反之非常简单。要将一个大数（带正幂）从科学记数法转换为标准记数法，首先确定尾数中的小数点，然后根据幂指示的数字向右移动小数点。要将一个数字从标准记数法转换为科学记数法，只需反转这些步骤即可。找到数字中的小数点，然后移动它，直到该数字至少为 1 但小于 10。计算你移动小数点的位数，并将该数字用作幂。如果你是将小数点向左移动，则使幂为正。如果你是将小数点向右移动，则使幂为负。

科学记数法也使乘法和除法变得更简单。要将两个以科学记数法表示的数字相乘，将尾数相乘并将幂相加

(3 × 10⁴) × (4 × 10^-2)

(3 × 4) × 10^{4 - 2}

12 × 10²

1.2 × 10³

在某些情况下，比如这里显示的这种情况，你可能需要再次移动小数点，以确保数字以正确的科学记数法表示。小数点移动的位数不应超过一位。当以科学记数法除数字时，将尾数相除并将幂相减

${\frac {3\times 10^{4}}{4\times 10^{-2}}}$

$(3/4)\times 10^{4+2}$

0.75 × 10⁶

7.5 × 10⁵

这里也可能需要移动小数点并更改指数。

科学记数法使比较值相差很大的数字变得容易，因为所有零都被更加易读的指数替换了。具有更大指数的数字始终大于具有较小指数的数字。

如果一个指数比另一个指数大几倍，那么这两个数字之间的差异显然非常大。识别两个数字之间的巨大差异有时是一个非常有用的见解，因此，在处理数学问题之前，花点时间直观地感受一下问题通常是有意义的。在某些情况下，了解一个数字比另一个数字大多少是有用的。科学记数法使这变得更加简单。为了粗略估计，你只需要找到指数之间的差异。例如，10⁷ 大于 10³，因为 7 - 3 = 4。

芝加哥自然历史博物馆的一些游客正在惊叹于恐龙骨骼。其中一个游客问守卫：“你能告诉我这些恐龙骨骼有多老吗？”

守卫回答：“它们有七千三百万零四岁零六个月。”

“那真是一个非常精确的数字，”游客说，“你怎么知道它们的年龄如此精确？”

守卫回答：“嗯，当我开始在这里工作的时候，这些恐龙骨骼有七千三百万年了，那是四年前半。”

（来自科学笑话网页 [1]）

在科学中，测量永远不会完美，数字永远不会精确。因此，我们进行的每次测量都与之相关联一些不确定性。科学记数法使表达数字的精确程度变得容易。假设一位古生物学家发现了古代恐龙骨骼，并发现它们有七千三百万年的历史。当然，古生物学家并不知道它们的准确年龄。也许它们有 73,124,987 年的历史，但古生物学家只知道年龄在 100 万年内，因此年龄写成 73,000,000 年，或 7.3 × 10⁷ 年。这两个表达式都暗示骨骼的年龄不完全是 7300 万年，而是在 7300 万年左右，误差在 100 万年内。

但是，如果古生物学家知道年龄在 20 万年内，并且确信骨骼的年龄不是，比如，73.4 000 000 年？在这种情况下，标准记数法是不确定的——数字仍然写成 73,000,000 年。在科学记数法中，我们可以将该数字写成 7.30 × 10⁷ 年。如果我们这样写，就意味着第三位数字是有效的。古生物学家可能计算出这些骨骼有 72,954,332 年的历史，但报告这些数字毫无用处，因为该测量的误差为 20 万年。多余的数字是无关紧要的。一个数字中的有效数字数量反映了该数字中表达的精度。在本例中，有效数字的数量为三个。第一个有效数字是 7，第二个是 3，第三个是 0。

科学记数法赋予数字小数点后写出的尾数特殊含义——它们表明该数字精确地是 7.30 × 10⁷ 年。这与数学中数字的通常用法不同，在数学中，小数点后的尾数零没有特殊含义。

在关于博物馆守卫的故事中，守卫没有考虑骨骼年龄的精度。将 4 年添加到 7300 万年是没有意义的，因为守卫被告知的年龄的不确定性远远大于 4 年。当处理具有不确定性的数字时，我们必须确保计算结果中表达的精度不高于原始数据的精度。

在进行算术运算时，加减数字的处理方式不同于乘除数字的处理方式。

当将具有不确定性的数字相乘或相除时，确保结果的有效数字与原始数字中最不精确的数字一样多。

例如，在 (2.3 × 10³) × (1.21 × 10²) 中，数字 2.3 × 10³ 有两位有效数字，而数字 1.21 × 10² 有三位有效数字。结果应该只有两位有效数字：2.8 × 10⁵。我们假设在给出我们 2.3 × 10³ 的测量值中存在一些不确定性，这会导致计算结果中存在一些不确定性。

加法和减法的工作方式不同。例如，当将 23.14 和 2.2 相加时，数字 2.2 的不确定性从十分位开始。这种不确定性使得在总和中报告百分位变得毫无意义。要了解这一点，请尝试在 2.2 中添加一些不确定性，看看这如何影响总和。

当加减不确定的数字时，将结果四舍五入到原始数字中不确定性最大的有效位。

例如，2.3 × 10³ + 1.1 × 10² 可以写成

	2300
+	110
	2410

但我们不知道 2.3 × 10³ 中十位的真实值，所以我们实际上只知道答案到百位。我们应该写

	2300
+	110
	2400

或者 2.3 × 10³ + 1.1 × 10² = 2.4 × 10³。这似乎不正确，但我们实际上只是四舍五入。由于我们不知道结果是否好于两位有效数字，因此报告多余的数字毫无意义——这就像博物馆警卫告诉游客恐龙骨头已有 7300 万零四年零六个月了。

几乎每个数字都附有 **度量单位**。我们用作第一个示例的数字以吨为单位，我们用年表示恐龙骨头的年龄。数字所携带的单位是数字本身的一部分。单位也可以像数字一样相乘或相除。

举个例子，考虑一个简单的等式

距离 = 速度 × 时间。

假设你驾驶一辆汽车，速度为每小时 100 公里（每小时 60 英里），并且你直线行驶一小时。你将行驶的距离为

$\mathrm {distance} =100{\frac {\mathrm {kilometer} }{\mathrm {hour} \!\!\!\!\!\!\!\!/}}\times 1{\mathrm {hour} \!\!\!\!\!\!\!\!/}$

或 60 英里。我们已经取消了小时，就好像它是一个数字一样。

当你需要转换单位时，这个技巧也很有用。如果你在一个系统中有一个结果，你想转换为另一个系统，你可以设置一个比率，例如 1000 米/1 公里。由于 1000 米等于 1 公里，因此比率 1000 米/1 公里等于 1。因此，用 1000 米/1 公里乘以任何数字都不会改变该数字的值。如果我们想知道 100 公里是多少米，我们可以写

$100\mathrm {\ kilometers} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times {\frac {1000\ \mathrm {meters} }{\mathrm {kilometer} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!/}},$

或 100000 米。

天文学中使用的其他度量单位是 **千克**（质量）、**牛顿**（力）和 **焦耳**（能量）。

普通天文学
宇宙简史	科学记数法	科学方法