一般工程介绍/单位量纲/量纲

基本单位依赖关系

量纲分析通常用于检查推导方程的合理性。它也被用于创建新的方程。

基本单位

对现实量纲的讨论必须从基本单位开始：温度（K，开尔文）、电流（A，安培）、光强（cd，坎德拉）、时间（s，秒）、距离（m，米）、质量（kg，千克）和数量（mol，摩尔）。

基本单位是所有其他单位的基础。右侧的图形显示了 7 个基本单位。

有趣的是，温度 (K) 是独立的，没有依赖关系，尽管可以争辩说它是均方根“平均”振动速度或某种形式的势能或内能。

有趣的是，安培 (A) 和坎德拉 (cd) 在很大程度上依赖于其他基本单位。每个单位都捕捉到了宇宙中其他单位所没有的独特部分。然而，两者更多地描述了人类如何任意地定义宇宙，而不是宇宙本身。

从时间 (s，秒) 到长度 (m，米) 的箭头来自广义相对论研究中发现的时空关系，并且在狭义相对论中有所暗示。

量纲

现实的量纲是 7 个基本单位。所有其他单位都可以用基本单位表示。以下是一些示例

一些从 SI 基本单位推导出的命名单位

名称	符号	量	用其他单位表示	在 SI 基本单位 中的量纲
赫兹	Hz	频率	1/s	s−1
弧度	rad	角度	m/m	无量纲
牛顿	N	力，重量	kg⋅m/s2	kg⋅m⋅s−2
帕斯卡	Pa	压强，应力	N/m2	kg⋅m−1⋅s−2
焦耳	J	能量，功，热量	N⋅m = C⋅V = W⋅s	kg⋅m2⋅s−2
瓦特	W	功率，辐射通量	J/s = V⋅A	kg⋅m2⋅s−3
库仑	C	电荷 或 电量	s⋅A	s⋅A
伏特	V	电压，电势差，电动势	W/A = J/C	kg⋅m2⋅s−3⋅A−1
法拉	F	电容	C/V	kg−1⋅m−2⋅s4⋅A2
欧姆	Ω	电阻，阻抗，电抗	V/A	kg⋅m2⋅s−3⋅A−2
西门子	S	电导	1/Ω = A/V	kg−1⋅m−2⋅s3⋅A2
韦伯	Wb	磁通量	J/A	kg⋅m2⋅s−2⋅A−1
亨利	H	电感	V⋅s/A = Wb/A	kg⋅m2⋅s−2⋅A−2
摄氏度	°C	温度	K - 273.15	K - 273.15

量纲一致性

假设我们得到一个涉及力 F、半径 r、长度 s、速度 v、距离 d 和粘度 p 的方程（左侧所示），并被要求检查它是否量纲一致。

F = -2πrsvp/d

这个公式量纲一致吗？我们需要知道每个符号的量纲。我们知道大部分

• F，力是 ML/T²
• r，半径是 L
• s，长度是 L
• v，速度是 L/T
• d，距离是 L

什么是粘度？最简单的方法是在 NIST 上查找：粘度（动态粘度）的单位是帕斯卡秒 (Pa·s)。帕斯卡是压强或单位面积上的力的单位。力是 ML/T²。单位面积上的力是压强 M/LT²。粘度是压强乘以时间：M/LT。代回公式

${\frac {ML}{T^{2}}}?=?L*L*{\frac {L}{T}}*{\frac {M}{LT}}*{\frac {1}{L}}$

简化右侧，可以看到该方程量纲一致。

${\frac {ML}{T^{2}}}?=?{\cancel {L}}*{\cancel {L}}*{\frac {L}{T}}*{\frac {M}{{\cancel {L}}T}}*{\frac {1}{\cancel {L}}}$

仅仅因为量纲一致，并不意味着该公式是正确的。然而，大多数情况下，这个过程在本科物理课上是有效的！大多数物理考试会向你提供数字，并期望你以量纲一致的方式将它们组合起来。大多数学生认为物理是关于记忆公式的。实际上，它是关于了解你的单位，并能够以量纲一致的方式将它们组合起来。你是否理解为什么他们总是在你没有写下单位的情况下扣分？

无量纲

弧度、度数是无量纲的。三角函数使用无量纲数。对数函数使用无量纲数。无量纲数可能具有名称，例如 dB（分贝）。

方程式创建

工程师经常创建不在物理教科书中的方程。它们被称为 经验方程，因为它们从未被追溯到第一性原理。但它们已经过实验验证。

方程的目的是预测行为。能够通过方程来描述行为，比照片或视频传达更多细节。因此，工程师创建并使用科学从未见过的方程。你曾在物理教科书中见过 孔板方程 吗？你知道它只在管道充满水时有效，而当管道中有空气时，有另一个方程吗？

${\dot {m}}=\rho \;Q=C\;A_{2}\;{\sqrt {2\;\rho \;(P_{1}-P_{2})}}$

长度的基本单位为L，时间的基本单位为T，质量的基本单位为M。

谐振子

我们试图创建一个公式来预测弹簧周期T。该弹簧连接到天花板上，另一端连接着质量为M的物体，由于弹簧常数为K且存在重力g，该物体上下弹跳。

$T\propto M^{a}\,g^{c}\,K^{d}$

时间维度为T，质量维度为M，长度维度为L，g维度为L/T²。弹簧常数维度为M/T²。在编写维度方程时，我们不关心数字的精确值，只关心指数。我们要确定的是未知指数a，b和c。与上述相关的维度分析方程如下：

$T=M^{a}\,\left({\frac {L}{T^{2}}}\right)^{c}\,\left({\frac {M}{T^{2}}}\right)^{d}$

比较左右两边，我们可以写出每个维度的方程

• 观察时间：1 = -2c -2d
• 观察质量：0 = a + d
• 观察长度：0 = c

这意味着重力与之无关 (c=0)，d = -1/2 且 a = 1/2。因此公式如下：

$T\propto {\sqrt {m/K}}$

炮弹射程

我们试图创建一个公式来估计炮弹的射程R。R的维度为L（长度）。假设V_x和V_y分别表示水平和垂直速度（L/T维度），g表示重力（L/T²维度），它们通过以下方程相关联：

$R\propto {\frac {V_{x}\,V_{y}}{g}}\,$

我们不知道指数a、b和c。我们的目标是使用维度分析来计算或检查它们。

在比较维度时，比例符号可以被等号替换

$L_{x}=(L_{x}/T)^{a}\,(L_{y}/T)^{b}(L_{y}/T^{2})^{c}\,$

比较左右两边，我们可以写出每个维度的方程

• 在水平（x）方向：1=a
• 在垂直（y）方向：0 = b+c
• 对于时间：0 = -a-b-2c

只有三个可能的方程，因为维度分析中只出现了三个维度。通过一些代数运算，可以找到唯一的解

• a = 1
• b = 1
• c = -1

因此原始方程可以写成

$R\propto {\frac {V_{x}\,V_{y}}{g}}\,$

比例符号可以用等号和乘法常数k代替。可以通过实验和单位选择来确定该常数。

$R=k*{\frac {V_{x}\,V_{y}}{g}}\,$

振动线

我们试图为振动线的能量E（ML²/T²）写出一个公式，该振动线长度为h（L），振幅为s（L）。该线的线密度为p（M/L），处于张力F（ML/T²）下。

$E\propto h^{a}\,s^{b}\,p^{c}\,F^{d}\,$

我们不知道指数a、b、c和d。我们的目标是使用维度分析来计算或检查它们。

在比较维度时，比例符号可以被等号替换

${\frac {ML^{2}}{T^{2}}}=L^{a}\,L^{b}\,\left({\frac {M}{L}}\right)^{c}\,\left({\frac {ML}{T^{2}}}\right)^{d}\,$

比较左右两边，我们可以写出每个维度的方程

• 观察质量，1 = c + d
• 观察长度，2 = a + b - c + d
• 观察时间，-2 = d

三个方程，四个未知数，这意味着没有唯一的答案。但某些值是已知的

• d=-2
• c=3
• a+b = 7

需要进行一个实验，保持所有因素不变，但改变振幅 (s) 或长度 (h)。这样就可以找到 a 或 b。假设我们预期进行一个改变 s 以找到 b 的实验。那么 a = 7-b，我们可以在目前情况下尽可能完成这个公式，通过说

$E\propto {\frac {h^{7-b}s^{b}p^{3}}{F^{2}}}$