一般力学/牛顿定律的替代公式

重新公式化牛顿

在上一章中，我们看到了如何使用任意坐标将牛顿定律重新公式化为一组二阶常微分方程。

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

从拉格朗日函数开始解决问题通常比直接使用牛顿定律更容易。拉格朗日函数在理论分析中也更有用。

然而，拉格朗日方法不是重新公式化牛顿的唯一有用方法。还有一种第二种相关的方法在分析中也非常有用；即，以一种特别自然的方式将运动方程写成一组一阶常微分方程。

为此，我们将使用来自微积分学习的标准技术。

推导

考虑函数

$H(q,p,t)={\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

其中$q_{i}$是广义坐标，$p_{i}$是一组我们很快就会看到其含义的新变量，$H$应该是$p$和$q$的函数，并且使用了求和约定。

然后我们有

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\quad (1)$

但是，由于H是仅p和q的函数，我们也可以写

$dH={\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt\quad (2)$

为了使这两个方程都成立，微分的系数必须相等。

方程 (2) 不包含$d{\dot {q}}_{i}$项，因此该项在方程 (1) 中的系数必须为零。即，

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

这给了我们一个关于 p_i 的定义。在拉格朗日方程中使用它，得到

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

方程（1）简化为

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt$

现在将系数与方程（2）进行比较，可以得到运动所需的一阶方程组。

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

这些被称为 *哈密顿方程*，*H* 被称为 *哈密顿量*。

H 和 p 的物理意义

为了了解 *H* 和 *p*_*i* 的实际含义，让我们考虑几个典型的案例。

首先，让我们看看一个不受力的自由粒子。这将让我们从物理意义上了解 *p*_*i* 的含义。

如果我们使用自由粒子的笛卡尔坐标，我们有

$L=T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

*p*_*i* 是它对速度的微分。

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\quad p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

这些是动量向量的分量。

如果我们使用柱坐标，我们有

$L=T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

和

$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\quad p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

这一次，p_z 是动量在 z 方向上的分量，p_r 是径向动量，而 p_θ 是角动量，我们之前已经看到它等同于旋转的动量。

由于在这些熟悉的例子中，p_i 是动量，我们将其推广并称 p_i 为 共轭动量。

请注意，从哈密顿方程可以看出，如果 H 与某个坐标 q 无关，则

${\dot {p}}_{q}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=0$

因此，与 q 共轭的动量守恒。这种守恒定律与坐标无关性之间的联系是许多物理学的基础。

其次，为了看到 H 的物理意义，我们将考虑一个在势 V 中运动的粒子，使用笛卡尔坐标进行描述。

这次拉格朗日量为

$L=T-V={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V(x,y,z)$

我们发现 p_i 为

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\quad p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

因此，它们再次是动量。

现在让我们计算 H。

${\begin{matrix}H&=&{\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}+{\dot {y}}p_{y}&-&L&&\\&=&m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&-&{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&+&V\\&=&{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&&&+&V\\&=&T&&&+&V\end{matrix}}$

因此，H 是总能量，写成位置和动量的函数。

这并不总是正确的，但对于所有常见的能量守恒系统来说是正确的。

通常，如果我们知道系统的能量如何依赖于速度和位置，我们就能了解系统的全部信息。

物理学家经常通过写下 H 或 L 的表达式来开始解决问题，而不会计算实际的力。

更深层的含义

如果我们将哈密顿方程，

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

与几何光学方程进行比较。

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial \omega }{\partial k_{i}}}\quad {\dot {k}}_{i}=-{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}$

我们可以看到这两组方程的形式相同。

如果我们进行如下形式的替换，

$H=\alpha \omega \quad p=\alpha k$

对于任何 α，这两组方程将变得完全相同。

现在，几何光学是对任何波动方程的完整解的近似，在波长很小时有效。

由于经典力学就像几何光学一样，经典力学也可能是对更精确的波动理论的小波长近似。

这不是一个证明，可能是与是不同，但这确实表明经典力学与波动理论相容，这与直觉相反。

我们将在后面看到，这不是巧合，经典力学确实是对更精确的波动理论，即量子力学的小波长近似，并且在该理论中，物质波的能量与频率成正比，动量与波数成正比，就像上面的替换所要求的那样。

哈密顿方程还可以用来构造一个称为泊松括号的数学工具，它使我们能够以一种使量子力学之间的联系更加清晰的方式写下经典力学的方程，但如何解释超出了本书的范围。

由于经典力学就像几何光学一样，应该存在类似于费马原理的东西，即光走最快的路径，并且确实存在。

光从 a 到 b 走最快的路径，物质走最小作用的路径，其中作用定义为

$\int _{a}^{b}L(x,{\dot {x}},t)\,dt$

可以证明，当且仅当系统服从拉格朗日方程时，该积分取极值。说物质沿着作用量最小的路径运动，等同于说它服从拉格朗日方程，或牛顿定律。

此外，事实证明，在广义相对论中，作用量与所用时间成正比，因此物质实际上也沿着两点之间的最短路径运动。