一般力学/使用牛顿定律进行分析

使用牛顿定律进行分析

任何时间质量的加速度由牛顿第二定律给出

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {F}{m}}=-{\frac {kx}{m}}$

这类方程被称为微分方程，因为它包含因变量的导数。这类方程通常比代数方程更难解，因为没有通用的技术可以解所有形式的这类方程。实际上，可以肯定地说，大多数微分方程的解最初是通过猜测得到的！

有一些解决简单微分方程（如这个）的系统方法，但现在我们将使用我们对物理问题的了解来进行明智的猜测。

我们知道质量会来回振荡，其周期与振荡的幅度无关。一个可能符合条件的函数是正弦函数。让我们尝试代入，

$x=A\sin(\omega t)$

其中 ω 是一个常数，代入这个方程。

我们得到

$-\omega ^{2}A\sin(\omega t)=-A{\frac {k}{m}}\sin(\omega t)$

请注意正弦函数被抵消了，剩下 $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ 。如果我们设置，这个猜测就起作用了

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

这个常数是振荡器的角振荡频率，我们由此推断出振荡周期为

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

这与量纲分析的结果一致。因为这与 $A$ 无关，我们可以看到周期与幅度无关。

很容易证明余弦函数同样是有效的解，

$x=B\cos(\omega t)$

对于相同的 $\omega$ 。

实际上，最一般的解只是这两种解的组合，即

$x=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$

$A,B$ 的值取决于质量在时间 $t=0$ 的位置和速度。