一般力学/耦合振荡器

我们经常遇到包含多个谐振子的系统，例如

两个相同的质量，m，第一个通过一个弹簧连接到墙上，弹簧常数为k，第二个通过另一个相同的弹簧连接到第一个。

如果弹簧没有连接，它们都会以相同的频率振动，ω=√(k/m)。连接弹簧会改变这一点。

为了找出连接系统的行为方式，我们将从拉格朗日方程开始，使用质量的位移x₁和x₂作为我们的坐标。

对系统的稍加观察表明

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)\quad V={\frac {1}{2}}k\left(x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}\right)$

所以，使用ω²=k/m，

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}\right)$

运动方程随即得出。

${\begin{matrix}{\ddot {x}}_{1}&=&-\omega ^{2}(2x_{1}-x_{2})\\{\ddot {x}}_{2}&=&-\omega ^{2}(x_{2}-x_{1})\end{matrix}}\quad (1)$

为了求解这些方程，我们尝试一个三角函数解

$x_{1}=A_{1}\sin \Omega t\quad x_{2}=A_{2}\sin \Omega t$

将此代入(1)得到

${\begin{matrix}-\Omega ^{2}A_{1}&+&\omega ^{2}(2A_{1}-A_{2})&=&0\\-\Omega ^{2}A_{2}&+&\omega ^{2}(A_{2}-A_{1})&=&0\\\end{matrix}}$

我们将在相同频率的任何三角函数解中得到相同的方程。

将A₁和A₂的系数放在一起，可以将最后一个方程改写为

${\begin{pmatrix}2\omega ^{2}-\Omega ^{2}&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega ^{2}-\Omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\quad (2)$

我们只有在矩阵的行列式为零时才能求解此方程。

$\Omega ^{4}-3\omega ^{2}\Omega ^{2}+\omega ^{4}=0$

解是

$\Omega _{\pm }^{2}={\frac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}}\omega ^{2}$

因此，组合系统有两个固有频率，一个低于另一个高于单个弹簧的固有频率。这很典型。

我们还可以根据 (2) 计算 A₁ 和 A₂ 的比率。除以 A₂ 可得

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}=1-{\frac {\Omega _{\pm }^{2}}{\omega ^{2}}}$

• 对于较低的频率 Ω_-（小于 ω），该比率为正，因此两个质量以不同的振幅朝相同方向移动。据说它们是同相的。

• 对于较高的频率 Ω₊（大于 ω），该比率为负，因此两个质量以不同的振幅朝相反方向移动。据说它们是反相的。

这种行为在耦合的谐振子对中很典型。

相同的方法也可以用于具有两个以上粒子的系统。