一般力学/叉积

有两个方法可以将两个向量相乘，点积和叉积。我们已经研究了两个向量的点积，它得到一个标量或单个数字。

两个向量的叉积得到一个第三个向量，并用以下符号表示

${\vec {A}}\times {\vec {B}}$

两个向量的叉积被定义为垂直于这两个向量所定义的平面。然而，这并不能告诉我们得到的向量是指向上离开平面还是指向下。使用右手定则可以解决这种模糊性

1. 将你右手的未弯曲手指指向第一个向量 ${\vec {A}}$ 的方向。
2. 旋转你的手臂，直到你可以将你的手指弯曲到第二个向量 ${\vec {B}}$ 的方向。
3. 你伸出的拇指现在指向叉积向量 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 的方向。

叉积的大小由下式给出

$|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cdot \sin(\theta )$

其中 $|{\vec {A}}|$ 和 $|{\vec {B}}|$ 是 ${\vec {A}},{\vec {B}}$ 的大小，而 $\theta$ 是这两个向量之间的夹角。注意，当向量平行或反平行时，叉积的大小为零，当它们垂直时，叉积的大小最大。这与点积形成对比，点积对平行向量最大，对垂直向量为零。

请注意，叉积不满足交换律，即向量的顺序很重要。特别是，使用右手定则很容易证明

${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$

计算叉积的另一种方法在两个向量用分量表示时最有用，

${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{vmatrix}}$

其中，行列式展开方式与所有分量为数字时相同，得到

${\begin{aligned}C_{x}&=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}\\C_{y}&=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}\\C_{z}&=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\end{aligned}}$

注意正项具有前向字母顺序，xyzxyzx...（x 紧随 z 后）

使用叉积，我们也可以用两种不同的方式将三个向量相乘。

我们可以将一个向量与叉积进行点积，得到一个三重标量积，

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}$

该乘积的绝对值是三个向量 ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ 定义的平行六面体的体积。

或者，我们可以将一个向量与叉积进行叉积，得到一个三重向量积，它可以简化为点积的组合。

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$

这种形式更易于计算。

三重向量积不是结合的。

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})\neq ({\vec {A}}\times {\vec {B}})\times {\vec {C}}$

使用指标符号表示叉积的一种简洁且实用的方法是

${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}=\epsilon ^{ijk}\,A_{j}\,B_{k}\,{\hat {e}}_{i}$

其中 $\epsilon ^{ijk}$ 是 Levi-Civita 交替符号，而 ${\hat {e}}_{i}$ 是单位向量 ${\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}$ 之一。（一个很好的练习是使用这个表达式，看看是否能得到前面定义的 ${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}$。）