普通力学/能量分析

能量分析

图 11.2: 一维谐振子的势能、动能和总能量作为弹簧位移的函数绘制。

对于弹簧，胡克定律指出总力与位移成正比，并且方向相反。

$F=-kx$

由于它与速度无关，因此它是一个保守力。我们可以积分来求出质量-弹簧系统的势能，

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$

由于存在势能，因此总能量

$E={\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

是守恒的，即随时间保持不变。

我们现在可以使用能量守恒来确定速度与位置的关系

${\dot {x}}=\pm {\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {k}{m}}x^{2}}}$

我们可以积分来确定位置随时间的函数，但我们可以从这个方程中推导出很多东西。

质量的运动方式相当明显。从胡克定律可以看出，质量总是向平衡位置加速，因此我们知道平方根的哪个符号是正确的。

当速度为零时

$x=\pm {\sqrt {\frac {2E}{k}}}$

如果x大于此值，速度将不得不是虚数，这显然是不可能的，因此质量必须限制在这两个值之间。我们可以称它们为转折点。

如果质量向左移动，当它接近左转折点时，它会减速。它在到达该点时停止，并开始向右移动。它会加速直到它经过平衡位置，然后开始减速，在右转折点停止，然后向左加速，等等。因此，质量在左右转折点之间振荡。

振荡周期如何取决于系统的总能量？我们无需求解微分方程就可以大致了解。

周期T仅取决于两个参数；质量m和弹簧常数k。

我们知道T以秒为单位，m以千克为单位。为了使胡克定律中的单位匹配，k必须以 N·m^-1为单位，或者等效地以 kg·s^-2为单位。

我们立即发现，将m和k组合起来以得到以秒为单位的量的唯一方法是除法，从而抵消 kg。

因此T∝${\sqrt {m/k}}$

我们已经确定了周期依赖于问题参数的一般方式，而无需使用微积分。

这种技术称为量纲分析，具有广泛的应用。例如，如果我们无法使用微积分精确地计算比例常数，我们可以通过进行一次实验来推导出它。没有量纲分析，如果微积分失效，我们将不得不进行大量实验，每个实验针对不同的m和k组合。

幸运的是，比例常数通常是小数，例如$3{\sqrt {2}}$ 或 ${\sqrt {\pi }}/2$.