一般力学/受迫振荡

如果我们以d=d₀sin ω_Ft的量来摆动上图中弹簧的左端，而不是将其固定，我们就会得到一个受迫谐振子。

常数d₀是强加摆动运动的振幅。强迫频率ω_F不一定等于质量弹簧系统的自然频率或共振频率。根据强迫频率小于、等于或大于ω，会发生非常不同的行为。

给定上述摆动，弹簧作用在质量上的力变为

${\displaystyle F=-k(x-d)=-k(x-d_{0}\sin \omega _{F}t)\,$

因为弹簧的长度是左右端位置的差。与不受迫的质量弹簧系统一样，我们得到了微分方程

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{M}}x={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

这个方程的解是x∝ sin ω_Ft的受迫部分与自由部分之和，自由部分与不受迫方程的解相同。我们主要对解的受迫部分感兴趣，所以我们令x=d₀sin ω_Ft并将其代入运动方程，得到

$-\omega _{F}^{2}x_{0}\sin \omega _{F}t+{\frac {k}{M}}x_{0}\sin \omega _{F}t={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

正弦因子抵消，留下一个关于质量振荡运动振幅的代数方程。

求解质量振荡振幅与摆动运动振幅的比值，我们发现

${\frac {x_{0}}{d_{0}}}={\frac {1}{1-M\omega _{F}^{2}/k}}={\frac {1}{1-\omega _{F}^{2}/\omega ^{2}}}$

其中我们已经认识到k/M=ω²，是自由振荡频率的平方。

注意，如果ω_F<ω，则质量的运动与摆动运动同相，质量振荡的振幅大于摆动的振幅。随着强迫频率接近振荡器的自然频率，质量的响应振幅越来越大。

当强迫频率处于共振频率时，响应在理论上是无限的，尽管在这种情况下的振幅实际限制将会介入——例如，弹簧不能无限地拉伸或收缩。在许多情况下，摩擦将作用于限制质量对接近共振频率的强迫的响应。

当强迫频率大于自然频率时，质量实际上会与摆动运动相反的方向移动——即响应与强迫异相。随着强迫频率高于共振频率增加，响应的振幅减小。

受迫谐振子和自由谐振子是许多物理系统的重要组成部分。例如，任何弹性材料体，如桥梁或飞机机翼，都有谐振振荡模式。一个常见的工程问题是确保这些模式在自然发生的进程可能激发这些模式时，被摩擦或其他物理机制阻尼。许多灾难都可以追溯到在工程结构中没有适当地考虑振荡强迫。