一般力学/指标符号

求和约定

如果我们将轴标记为 1、2 和 3，我们可以将点积写成一个和

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}$

如果我们以类似的方式对矩阵的元素进行编号，

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{31}&B_{32}&B_{33}\end{pmatrix}}$

我们可以为矩阵乘法写出类似的表达式

$(\mathbf {A} \mathbf {u} )_{i}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}u_{j}\quad (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{jk}$

请注意，在每种情况下，我们都在对重复的索引求和。由于这种情况非常常见，因此现在约定省略求和符号。

我们只需写

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v_{i}\quad (\mathbf {A} \mathbf {u} )_{i}=A_{ij}u_{j}\quad (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=A_{ij}B_{jk}$

然后我们也可以对单位向量 ê_i 进行编号，并写

$\mathbf {u} =u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

这在旋转坐标系中可能很方便。

克罗内克德尔塔

克罗内克德尔塔是

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&i=j\\0&i\neq j\end{matrix}}\right.$

这是写单位矩阵的标准方法。

Levi-Civita（交替）符号

另一个有用的量可以通过以下方式定义：

$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}1&(i,j,k)=(1,2,3){\mbox{ or }}(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1&(i,j,k)=(2,1,3){\mbox{ or }}(3,2,1){\mbox{ or }}(1,3,2)\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{matrix}}\right.$

根据这个定义，我们发现

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}$

和

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{ipq}=\delta _{jp}\delta _{kq}-\delta _{jq}\delta _{kp}\,$

这将使我们能够更简洁地写出许多公式。