一般力学/动量

变化的质量

到目前为止，我们假设被考虑的物体的质量是恒定的，但这并不总是正确的。总的来说质量是守恒的，但考虑火箭等失去或获得质量的物体是有用的。

我们可以通过两种方式考虑火箭来找出如何将牛顿第二定律扩展到这种情况：作为具有可变质量的单个物体，以及作为两个正在相互推开的固定质量物体。

我们发现

$\mathbf {F} =m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

力是某个量的变化率，$m{\vec {v}}$ ，我们称之为*线性动量*。

牛顿第三定律

牛顿第三定律指出，作用于质量 $m_{1}$ 的力 $F_{12}$ ，作用于另一个质量 $m_{2}$ ，等于另一个质量作用于第一个质量上的力 $F_{21}$ 的大小，并且方向相反。

${\frac {d(m_{2}{\vec {v}}_{2})}{dt}}={\vec {F}}_{12}=-{\vec {F}}_{21}=-{\frac {d(m_{1}{\vec {v}}_{1})}{dt}}$

如果这两个物体没有受到外部力的作用。我们可以将这两个动量加在一起得到

${\frac {d(m_{1}{\vec {v}}_{1})}{dt}}+{\frac {d(m_{2}{\vec {v}}_{2})}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})=0$

因此，总的线性动量是守恒的。

最终，这是空间是均匀的的结果。

质心

假设有两个质量恒定的物体受到外力作用，${\vec {F}}_{1},{\vec {F}}_{2}$

那么作用在系统上的总力，${\vec {F}}$，是

${\vec {F}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {F}}_{2}={\frac {d}{dt}}(m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})$

因为内力相互抵消。

如果将这两个物体视为一个系统，${\vec {F}}$ 应该是总质量与${\bar {a}}$，即平均加速度的乘积，我们预期它与某种平均位置有关。

${\begin{aligned}(m_{1}+m_{2}){\bar {a}}&={\frac {d}{dt}}(m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2})\\&={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2})\\{\bar {a}}&={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}$

平均加速度是平均位置的二阶导数，以质量为权重。

这个平均位置叫做质心，它以与系统总质量相同的速度加速，并且受到总力的作用。

我们可以将它扩展到任意数量的物体，它们受到任意外力和内力的作用。

• 我们有$n$ 个物体，质量为$m_{1}\ldots ,m_{n}$，总质量为$M$
• 每个质量 $m_{i}$ 位于点 $r_{i}$
• 每个质量 $m_{i}$ 受到外力 $F_{i}$
• 质量 $m_{j}$ 对质量 $m_{i}$ 的内力为 $F_{ij}$

那么质心 $R$ 的位置是

${\vec {R}}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}$

我们现在可以对 $R$ 求二阶导数

${\begin{aligned}M{\vec {R}}''&=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}''\\&=\sum _{i}\left({\vec {F}}_{i}+\sum _{j}{\vec {F}}_{ij}\right)\end{aligned}}$

但所有内力的总和为零，因为牛顿第三定律使它们成对抵消。因此，上述等式中的第二项消失，我们剩下

$M{\vec {R}}''=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {F}}$

无论内力如何，质心始终像在总外力作用下具有相同总质量的物体一样运动。