一般力学/约束下的运动

到目前为止，我们已经默认地假设我们可以直接计算力作为位置的函数，建立微分方程

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

并开始求解。

但这并不总是那么简单。

通常，我们必须处理约束下的运动；例如，沿着导线滑动的珠子、不打滑滚动的球、从绳子上悬挂的重物。

一定存在某种力将珠子保持在导线上，但我们事先不知道它是哪种力，只知道它起到的作用。这对于我们提前写下微分方程来说是不够的。

我们需要一种方法来解决问题，而不必事先知道力。

解决这个问题的难易程度取决于约束的类型。

• 如果约束是不等式，例如绳子上的重物，那么没有直接的解析方法。

• 如果约束可以写成一组微分方程，而这些方程不能事先积分，那么存在一种解析方法，但它超出了本书的范围。不打滑滚动的球属于这种情况。

• 如果约束可以写成一组代数方程，并且摩擦力可以忽略不计，那么存在一种简单的方法可以解决问题。

广义坐标

假设我们有一个包含n个粒子的系统，它们满足以下形式的k个约束

$f_{k}(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{n},t)=0$

那么我们可以使用这些约束来消除粒子3n个坐标中的k个，从而得到一组新的3n-k个独立的广义坐标；q₁、q₂、…q_3n-k。

与位置向量的分量不同，这些新坐标并不都是长度，而且通常不会形成向量。它们通常是角度。

现在我们需要计算牛顿定律在广义坐标中的形式。

推导

第一步是消除约束力。

我们需要考虑一个虚位移。这是一个无穷小的位移，在保持力和约束不变的情况下进行的。它与无穷小时间内发生的无穷小位移不同，因为力与约束可能在该时间内发生变化。

我们将作用在粒子i上的总力写成

$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{a}+\mathbf {F} _{i}^{c}$

即外力与约束力的总和。

牛顿第二定律指出

$\mathbf {F} _{i}^{a}+\mathbf {F} _{i}^{c}=\mathbf {F} _{i}={\dot {\mathbf {p} }}_{i}$

我们将此式与粒子i的虚位移进行点积，并对所有粒子求和。

$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}^{a}+\mathbf {F} _{i}^{c}-{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

我们现在假设约束力垂直于虚位移。在没有摩擦的情况下，这种假设通常是正确的；例如，保持球体在表面上的约束力垂直于表面。

这种假设被称为达朗贝尔原理。使用它，我们可以从问题中消除约束力，得到

$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}^{a}-{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

或者

$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{a}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\quad (1)$

此方程式的左侧称为虚功。

现在我们必须转换为广义坐标系。

我们写

$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{3n-k},t)$

使用链式法则得到

$\mathbf {v} _{i}=\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}$

和

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

请注意，这意味着

${\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\quad (2)$

省略上标，虚功为

${\begin{matrix}\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}&=&\sum _{i,j}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\\&=&\sum _{j}Q_{j}\delta q_{j}\end{matrix}}$

其中Q_j是广义力的分量。

我们现在将(1)的右侧处理成与最后一个方程可比较的形式

右侧项是

${\begin{matrix}\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}&=&\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\\&=&\sum _{i,j}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\end{matrix}}$

系数 q_j 中的项可以重新排列。

${\begin{matrix}\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}&=&\sum _{i}\left[{\frac {d}{dt}}\left(m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)-m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\right)\right]\\&=&\sum _{i}\left[{\frac {d}{dt}}\left(m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial q_{j}}}\right]\end{matrix}}$

将上面的等式 (2) 代入。

仔细观察这个最后一个等式，我们发现它与总动能类似。

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$

现在我们进一步重新排列，以得到一个明确包含 T 的表达式。

${\begin{matrix}\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}&=&\sum _{i}\left[{\frac {d}{dt}}\left(m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial q_{j}}}\right]\\&=&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}\\&=&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}T\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}T\end{matrix}}$

将最后一个表达式代入 (1) 以及广义力，得到

$\sum _{j}\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}-Q_{j}\right]\delta q_{j}=0$

由于 δq_j 与 δr_i 不同，是相互独立的，所以最后一个方程只有在所有系数都为零时才成立。

也就是说，我们必须有

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j}\quad (3)$

这些是系统的运动方程，是在一组通用的坐标系中，所有约束条件都自动满足。

例如，假设我们有一个质量为 m，半径为 a 的圆柱体，它在一个平面上无滑动滚动。

圆柱体的动能为

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{8}}ma^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

根据 刚体 中的结果，其中 x 是与圆柱体轴线垂直的平面上的轴线，θ 是旋转角。

无滑动滚动意味着

${\dot {x}}=a{\dot {\theta }}$

所以我们得到

$T={\frac {5}{8}}m{\dot {x}}^{2}\quad {\frac {5}{4}}m{\ddot {x}}=Q_{x}$

圆柱的动能与其质量增加 20% 相同。如果圆柱没有扭矩，那么 Q_x=F_x，并且圆柱在各方面表现得就像一个 20% 更大的质点。

为了更广泛地使用 (3)，我们需要一个关于 Q_j 的表达式。

假设，正如经常发生的那样，

$\mathbf {F} _{i}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{i}}}V$

那么，根据定义

${\begin{matrix}\sum _{j}Q_{j}\delta q_{j}&=&\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\\&=&\sum _{i,j}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\\&=&-\sum _{i,j}{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\\&=&-\sum _{j}{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\end{matrix}}$

因此，通过比较系数，广义力为

$Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$

将此广义力代入 (3) 得到

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-V)}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}=0$

因为 V 被假定为独立于速度。

事实上，对于一些依赖速度的力，特别是磁力，这个最后一个方程仍然成立，前提是对 V 做出适当的定义，但我们这里不证明这一点。

我们将 T-V 称为 拉格朗日量，L，并写成

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0$

我们将这些方程称为 拉格朗日方程。它们在笛卡尔坐标系不方便的情况下很有用，包括约束运动。

例子

假设我们有两个相同的质点，质量为 m，它们通过一根长度为 a 的绳子连接。绳子穿过一张平桌上的一个洞，这样上方的质量在水平面上无摩擦地运动，而下方的质量始终垂直于洞的下方。上方的质量到洞的距离是 r。

桌子上的质量的位置最好用极坐标来描述，(r,θ)。它的动能为

${\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)$

下方质量的速度是 d(a-r)/dt=-dr/dt，所以总动能是

$T={\frac {1}{2}}m\left(2{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)$

势能是

$V=mg(a-r)$

其中 g 是重力加速度。

这意味着

$L={\frac {1}{2}}m\left(2{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)+mg(r-a)$

运动方程为

${\begin{matrix}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta }}&=&m{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)&=&0\\{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}-{\frac {\partial L}{\partial r}}&=&2m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+mg&=&0\end{matrix}}$

第一个方程表明角动量是恒定的，正如预期的那样，因为粒子没有受到扭矩。如果我们把这个恒定的角动量称为l，那么我们可以写成

${\dot {\theta }}={\frac {l}{mr^{2}}}$

第二个运动方程变为

${\ddot {r}}={\frac {l^{2}}{2m^{2}r^{3}}}-{\frac {g}{2}}$

显然，如果最初

$l^{2}>gm^{2}r^{3},\,$

那么，下方的球将被拉出孔，此时这些运动方程不再适用。它们只在 0≤r≤a 时成立，这是一个不容易处理的约束条件。

请注意，我们不需要计算绳子的张力，它是这个问题中的约束力。