普通力学/二维和三维运动

2和3方向的运动

之前，我们讨论了一维牛顿动力学。现在我们已经熟悉了向量和偏微分，我们可以将讨论扩展到二维或三维。

功变成点积

$W=\mathbf {F} \cdot \Delta x$

同样地，功率

$P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$

如果力与运动方向垂直，则不做功。

在一维中，我们说一个力是保守的，如果它仅仅是位置的函数，或者等效地，势能的负斜率。

第二个定义扩展到

$\mathbf {F} =-\nabla V$

在二维或更多维中，这些不是等效的语句。要看到这一点，请考虑

$D_{y}\mathbf {F} _{x}-D_{x}\mathbf {F} _{y}=V_{xy}-V_{yx}$

由于导数的顺序无关紧要，因此对于任何可以写成梯度的力，该方程的左侧必须为零，但对于任意力，仅仅取决于位置，例如 F=(y, -x, 0)，左侧不为零。

保守力很有用，因为它们所做的总功仅取决于端点的势能差，而不取决于所走的路径，由此可以立即得出能量守恒。

如果是这种情况，则由无限小位移 dx 所做的功必须为

$W=V(\mathbf {x} )-V(\mathbf {x} +d\mathbf {x} )=-(\nabla V)\cdot d\mathbf {x}$

将此与上面的第一个方程进行比较，我们看到如果我们有势能，那么我们必须有

$\mathbf {F} =-\nabla V$

任何这样的 F 都是保守力。

圆周运动

二维运动的一个重要例子是圆周运动。

考虑一个质量为 m 的物体，它在一个半径为 r 的圆周上运动。

角速度 ω 是角度随时间的变化率。在时间 Δt 内，物体经过一个角度 Δθ= ωΔt。物体移动的距离然后是 r sin Δθ，但这近似于小角度的 rΔθ。

因此，在很短的时间 Δt 内移动的距离为 rωΔt，除以 Δt 后得到速度 v。

$v=\omega r\,$

这是速度，而不是速度，因为它不是向量。速度是一个向量，其大小为 ωr，指向圆的切线方向。

速度的大小是恒定的，但方向在变化，因此物体正在加速。

通过与上面类似的论证，可以证明加速度的大小为

$a=\omega v\,$

并且它指向内部，沿着半径向量。这叫做向心加速度。

通过从这两个方程中消除 v 或 ω，我们可以写出

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {\hat {r}}$