一般力学/连续极限

介绍

原则上，我们可以使用迄今为止描述的方法，通过简单地跟踪每个原子来预测物质的行为。

在实践中，这不是一种有用的方法。相反，我们把物质看作一个连续体。

在本节中，我们将看到这是如何做到的，以及它如何将我们带回到波。

例如，我们将考虑一组N+1个相同的弹簧和质量，按照上一节的排列，弹簧0连接到墙壁，质量N是自由的。

我们感兴趣的是当N很大时会发生什么，即连续极限。

该系统还有三个其他参数：弹簧常数k，粒子质量Δm，以及弹簧静止间距Δa，其中变量名称是为了方便将来的使用而选择的。这些参数可以与N结合起来，为系统提供一组类似的参数。

假设所有质量都从静止状态被位移了d，系统的总位移为D=dN，那么总势能为kNd²/2 = kD²/(2N)，所以

• 系统的弹簧常数为K=k/N
• 系统的质量为m=ΔmN
• 系统的静止长度为a=ΔaN

如果，当我们增加N时，我们改变另外三个参数以保持K，m，和a不变，那么在N很大的极限情况下，这个离散系统将看起来像一个质量连续分布在其长度上的弹簧。

对于坐标，我们将使用每个质量的位移，x_n。对于较大的N，位移将近似地随距离连续变化。我们可以将其视为一个连续函数，x，其中

$x(n\Delta a)=x_{n}\,$

系统的动能则很简单

$T={\frac {1}{2}}\Delta m\sum _{0}^{N}{\dot {x}}_{n}^{2}$

总势能类似地

$V={\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}k\sum _{1}^{N}(x_{n}-x_{n-1})^{2}$

从这里我们可以用两种不同的方法推导出运动方程。

运动方程：第一种方法

如果我们先取N很大的极限，这些求和就变成了积分。

${\begin{matrix}T&=&{\frac {m}{2a}}\sum _{0}^{N}{\dot {x}}_{n}^{2}\Delta a\\\lim _{N\rightarrow \infty }T&=&{\frac {m}{2a}}\int _{0}^{a}{\dot {x}}^{2}ds\end{matrix}}$

其中s是距墙壁的距离，以及

${\begin{matrix}V&=&{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}k\sum _{0}^{N-1}(x_{n}-x_{n+1})^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}K\sum \left({\frac {x(n\Delta a+\Delta a)-x(n\Delta a)}{\Delta a}}\right)^{2}a\Delta a\\\lim _{N\rightarrow \infty }V&=&{\frac {1}{2}}kx(0)^{2}+{\frac {1}{2}}Ka\int \left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}ds\end{matrix}}$

由于弹簧始终连接到墙上，因此x(0)=0。

T 的被积函数是密度和速度平方的乘积，正如我们可能直觉地期望的那样。类似地，V 是系统长度上无穷小弹簧势能的积分。

使用拉格朗日方程将使我们能够从这些积分中获得运动方程。

它是

${\begin{matrix}L&=&{\frac {m}{2a}}\int _{0}^{a}{\dot {x}}^{2}ds-{\frac {1}{2}}Ka\int _{0}^{a}\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}ds\\&=&{\frac {m}{2a}}\int _{0}^{a}({\dot {x}}^{2}-{\frac {Ka^{2}}{m}}x^{\prime 2})ds\\\end{matrix}}$

系统的作用量是

$\int Ldt=\int \int {\mathcal {L}}({\dot {x}},x^{\prime })dxdt\quad {\mbox{ where }}{\mathcal {L}}={\frac {m}{2a}}({\dot {x}}^{2}-{\frac {Ka^{2}}{m}}x^{\prime 2})$

在这里，我们在空间和时间上进行积分，而不仅仅是空间，但这仍然与单个粒子的作用量非常相似。

我们可以预期最小作用量原理会将我们引导到拉格朗日方程对该作用量的自然扩展，

${\frac {d}{ds}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\prime }}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}$

这个方程可以使用变分法来证明。对于这个特定的拉格朗日方程，它给出了

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}-{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial s^{2}}}=0$

这是一个偏微分方程。我们不会详细讨论它的解，但我们会看到它描述了波。

首先，我们将确认这些方程与我们先找到运动方程，然后取大N 极限时得到的方程相同。

运动方程：第二种方法

首先，我们将看一下势能，看看它如何取决于位移。

${\begin{matrix}V&=&{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}k\sum _{0}^{N-1}(x_{n}-x_{n+1})^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}k\left(x_{0}^{2}\cdots (x_{n-1}-x_{n})^{2}+(x_{n}-x_{n+1})^{2}\cdots (x_{N}-x_{N-1})^{2}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}k\left(2x_{0}^{2}-2x_{0}x_{1}\cdots -2x_{n}x_{n+1}+2x_{n}^{2}-2x_{n}x_{n+1}\cdots x_{N}^{2}-2x_{N}x_{N-1}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}k\left(2x_{0}^{2}-2x_{0}x_{1}\cdots 2x_{n}(x_{n}-x_{n+1}-x_{n-1})\cdots x_{N}^{2}-2x_{N}x_{N-1}\right)\\\end{matrix}}$

请注意，我们需要对第一个和最后一个质量的位移进行不同于其他坐标的处理，因为拉格朗日函数对它们的依赖性不同。

动能关于坐标是对称的，

$T={\frac {1}{2}}\Delta m\sum _{0}^{N}{\dot {x}}_{n}^{2}$

使用拉格朗日方程，我们得到，对于 _x_₀

$\Delta m{\ddot {x}}_{0}+2kx_{0}=kx_{1},$

对于 _x__{_N_}，

$\Delta m{\ddot {x}}_{N}+kx_{N}=kx_{N-1},$

以及对于所有其他的 _x__{_n_}

$\Delta m{\ddot {x}}_{n}+2kx_{n}=k(x_{n+1}+x_{n-1}),$

我们可以用极限值 K 和 m 代替 _k_ 和 Δ_m_，使用

${\frac {k}{\Delta m}}={\frac {Ka^{2}}{m\Delta a^{2}}}$

得到

${\begin{matrix}{\ddot {x}}_{0}&=&{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {x_{1}-2x_{0}}{\Delta a^{2}}}\\{\ddot {x}}_{n}&=&{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {x_{n-1}+x_{n+1}-2x_{n}}{\Delta a^{2}}}\\{\ddot {x}}_{N}&=&{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {x_{N-1}-x_{N}}{\Delta a^{2}}}\end{matrix}}$

观察等式右边的结构，我们发现它表示了相邻点位移的差值除以两点之间的距离，因此我们可以推测，在极限情况下，它将转化为关于 s（离墙的距离）的微分。

当 N 趋于无穷大时，x₀ 和 x₁ 都将趋于 x(0)，而 x(0) 始终为零，因此 x₀ 的运动方程始终成立。

在连续极限情况下，x_N 的方程变为

${\ddot {x}}(a)=-{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {1}{\Delta a}}{\frac {dx}{ds}}$

由于 Δa 趋于零，为了使该等式成立，我们必须有 x' = 0 在 a 处。

对于其他位移，

${\begin{matrix}\lim _{\Delta a\rightarrow 0}{\frac {x_{n-1}+x_{n+1}-2x_{n}}{\Delta a^{2}}}&=&\lim _{\Delta a\rightarrow 0}&{\frac {1}{\Delta a}}\left({\frac {x_{n+1}-x_{n}}{\Delta a}}-{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{\Delta a}}\right)\\&=&\lim _{\Delta a\rightarrow 0}&{\frac {x^{\prime }((n+1)\Delta a)-x^{\prime }(n\Delta a)}{\Delta a}}\\&=&\left.{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right|_{x=a}&\\\end{matrix}}$

因此，我们得到以下方程

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}-{\frac {Ka^{2}}{m}}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial s^{2}}}=0$

与其他方法的结果相同。

波浪

直观上，如果我们拨动这个系统中的一个质量，振动会像波浪一样沿着弹簧传播，因此我们寻找这种形式的解。

一个典型的行波是

$x=A\sin(\omega t-\kappa x+\alpha )\,$

将这个猜想代入方程，我们得到

$-A\omega ^{2}\sin(\omega t-\kappa x+\alpha )=-{\frac {Ka^{2}}{m}}\kappa ^{2}\sin(\omega t-\kappa x+\alpha )$

因此，只要频率和波数满足以下关系，该波就是方程的解

$\omega ^{2}={\frac {Ka^{2}}{m}}\kappa ^{2}$

这些波的速度，c，是

$c={\frac {d\omega }{d\kappa }}=\pm {\sqrt {\frac {Ka^{2}}{m}}}$

因此，我们从牛顿定律推导出波动。

我们可以从三维粒子阵列开始做同样的事情，并推导出固体中纵波和横波的方程。我们之前关于波的一切对于这些系统都是成立的。

这个特殊的系统有两个边界条件：位移在壁处为零，在自由端处为局部极值。这在所有此类问题中都是典型的。

当我们考虑边界条件时，我们发现正确解是驻波的组合，形式为

$x=A_{m}\sin \left({\frac {2b+1}{2}}{\frac {\pi s}{a}}\right)\sin \left({\sqrt {\frac {Ka^{2}}{m}}}{\frac {2b+1}{2}}{\frac {\pi }{a}}t+\alpha _{m}\right)$

其中b是任意整数。

如果我们还知道初始位移，我们可以使用傅里叶级数来获得所有时间的精确解。

在实践中，N通常很大但有限，因此连续介质极限只近似成立。考虑到这一点，我们将得到一个关于1/N的幂级数，描述了对近似的微小修正。这些修正会导致有趣的效果，包括解，但我们这里不进行计算。

连续介质极限对于与粒子间距相当的小波长也不适用。

场

在连续介质极限下，弹簧由一个变量描述，该变量是位置和时间的函数。这种变量通常被称为场。

乍一看，经典场与经典粒子看起来截然不同。在一种情况下，位置是因变量；在另一种情况下，它是自变量。然而，如上面的计算所暗示的那样，如果我们采用拉格朗日方法，场和粒子具有潜在的统一性。

我们可以使用基本相同的数学技术来处理两者，从同一个来源提取关于场和该场中粒子的信息。

例如，一旦我们知道电磁学的拉格朗日量，我们就可以从它推导出电磁场的偏微分方程和这些场中带电粒子的力。我们将在后面研究电磁学时看到具体的例子。

在上面的例子中，场拉格朗日量是离散系统拉格朗日量的连续介质极限。它不必如此。我们可以研究由我们喜欢的任何拉格朗日量描述的场，无论是否存在底层机械系统。

到目前为止，我们已经研究了牛顿定律下的波和运动，并看到了运动研究如何将我们带回到波。接下来，我们将研究狭义相对论，并看看爱因斯坦的洞察力如何影响这一切。