普通力学/功和功率

功

当对物体施加力时，能量被转移到物体上。转移的能量被称为对物体所做的功。在数学上，功被定义为力和位移的点积，因此它是一个标量。但是，只有当物体移动时，能量才会转移。功可以被认为是将能量从一种形式转变为另一种形式的过程。完成的功W为

$W=F\Delta x$

其中物体移动的距离为Δx，施加在它上面的力为F。注意，功可以是正的也可以是负的。如果所作用的物体沿力的方向移动，则功为正，如果物体沿与力的方向相反的方向移动，则功为负。

这个方程假设力在整个位移或距离（取决于情况）上保持不变。如果不是这样，那么有必要将位移分解为多个较小的位移，在每个位移中力都可以被认为是恒定的。总功是每个小位移的功之和。在无穷小极限情况下，这变成了一个积分

$W=\int F(s)\,ds$

如果多个力作用在物体上，则由于不同力而产生的功分别加或减能量，取决于它们是正的还是负的。总功是这些单个功之和。

有两个特殊情况，其中对物体所做的功与其他量相关。如果F是作用在物体上的总力，那么根据牛顿第二定律W=FΔx=mΔx·a。然而，a=dv/dt，其中v是物体的速度，并且Δx≈vΔt，其中Δt是物体移动距离Δx所需的时间。当Δx和Δt变得非常小时，近似值变得精确。将所有这些放在一起得到

$W_{total}=m{\frac {dv}{dt}}v\Delta t=\Delta t{\frac {d}{dt}}{\frac {mv^{2}}{2}}$

我们将量mv²/2 称为动能，或K。它代表着作为运动储存的功的数量。那么我们可以说

$W_{total}={\frac {dK}{dt}}\Delta t=\Delta K$

因此，当F是唯一的力时，作用在物体上的总功等于物体动能的变化。这种转化被称为“功能定理”。

另一个特殊情况发生在力仅取决于位置，但不一定是作用在物体上的总力。在这种情况下，我们可以定义一个函数

$U(x)=-\int ^{x}F(s)\,ds$

并且力在从x₁移动到x₂时所做的功为U(x₁)-U(x₂)，无论物体移动的速度是快还是慢。

如果力是像这样的，它被称为保守力，并且U被称为势能。微分定义得到

$F=-{\frac {dU}{dx}}$

这些方程中的负号纯粹是约定俗成的。

如果力是保守力（其效应不依赖于它所经过的路径），我们可以将它所做的功写成

$W=-{\frac {dU}{dx}}\Delta x=-\Delta U$

其中是与感兴趣的力相关的物体势能的变化。

能量

势能（由于其位置而产生的能量）和动能（由于其运动而产生的能量）之和是恒定的。我们将这个常数称为总能量E

$E=K+U$

如果所有涉及的力都是保守力，我们可以将此与之前对功的表达式等同起来，得到功、动能和势能之间的以下关系

$\Delta K=W=-\Delta U$

接下来，我们有一个非常重要的公式，称为“能量守恒”

$\Delta (K+U)=0$

该定理指出，系统中的总能量是恒定的，能量既不能被创造也不能被消灭。

功率

与力相关的功率就是力所做的功除以做功的时间间隔。因此，它是指力对物体传递的单位时间内的能量。从上面的公式可以看出，功率为：

$P={\frac {F\Delta x}{\Delta t}}=Fv$

其中 $v$ 是物体运动的速度。总功率是每个力的功率之和，等于物体动能随时间的变化率：

$P_{total}={\frac {W_{total}}{\Delta t}}={\frac {dK}{dt}}$