一般环论/推导

定义（导子）:

设$S$ 是一个单位的$R$-代数。此外，设$M$ 是代数$S$ 上的一个模。那么$S$ 上关于$R$ 以$M$ 为值的导子是一个$R$-模同态$d:S\to M$，使得

$d(st)=sd(t)+td(s)$

对于所有$s,t\in S$ 成立。我们将$S$ 关于$R$ 以$M$ 为值的全体导子的$S$-模记为$\operatorname {Der} _{R}(S,M)$。

定义（泛导子）

:

设$S$ 是一个幺元$R$-代数。则$S$ 关于$R$ 的**泛导数**是导数$d:S\to \Omega _{S/R}$，其中$\Omega _{S/R}$ 是通过取由形式符号$ds$（每个$s\in S$ 一个）生成的自由$S$-模并除以由如下形式的元素生成的理想而产生的$S$-模：$d(ts)-tds-sdt$ 以及 $d(rs)-rd(s)$（其中$r\in R$，$t,s\in S$），并且$d$ 将$s$ 映射到$ds$。

命题（泛导数的泛性质）

:

设$S$ 是一个含单位元的 $R$-代数，并设 $M$ 是代数 $S$ 上的一个模。那么，对于每个 $\delta \in \operatorname {Der} _{R}(S,M)$，存在唯一的 $S$-模同态 $f:\Omega _{S/R}\to M$，使得 $\delta =f\circ d$。这种配对诱导了一个 $R$-模的同构。

$\operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M)\cong \operatorname {Der} _{R}(S,M)$

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证明： 为了证明唯一性，注意到泛导数$d$ 是满射的，因此 $f$ 由 $\delta =f\circ d$ 决定。为了证明存在性，注意到如果 $F$ 是具有生成元 $ds$（对于所有 $s\in S$）的自由 $S$-模，则存在一个态射 $F\to M$ 将 $ds$ 映射到 $\delta (s)$，并且它根据 $\delta$ 的性质，在 $\Omega _{S/R}$ 定义中的商上分解。 $\Box$

命题（泛导数是唯一的）:

单位元 $R$-代数 $S$ 的泛导数及其目标模是唯一确定的。

证明： 这直接由定义对应对象唯一的泛性质得出。 $\Box$