一般环论/理想与乘法封闭集

命题（理想的升链是理想）:

令 $\Lambda$ 为一个全序集，并令 $(I_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 为环 $R$ 的左、右或两边理想的链。那么

$J:=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }$

分别是 $R$ 的左、右或两边理想。

证明： 事实上，首先令 $a,b\in J$。那么 $a\in I_{\lambda }$ 且 $b\in I_{\mu }$ 对于某些 $\lambda ,\mu \in \Lambda$。令 $\eta :=\max\{\lambda ,\mu \}$，那么 $a+b\in I_{\eta }$ 因为我们正在处理一个链，因此 $a+b\in J$。对于剩余的性质，即关于 $R$ 的乘法封闭性，我们证明左理想的情况，因为右理想的证明相同，而对于双边理想的结论则可以通过合并其他两个结论得出（或者直接用相同的方法证明）。因此，假设 $I_{\lambda }$ 是 $R$ 的右理想，并且令 $r\in R$。那么我们有 $ra\in I_{\lambda }$ 当且仅当 $a\in I_{\lambda }$，但对于每个 $a\in J$ 存在一些 $\lambda$ 使得这种情况成立，因此该结论成立。 $\Box$

命题（存在不与乘法集相交且包含理想的素理想）:

设 $R$ 是一个环，设 $I$ 是 $R$ 的左理想、右理想或双边理想，设 $S$ 是 $R$ 的一个乘法封闭子集，使得 $I\cap S=\emptyset$。那么存在 $R$ 的一个左理想、右理想或双边理想 $J$，使得 $J$ 包含 $I$，是素理想，不与 $S$ 相交，并且在所有不与 $S$ 相交的理想中是极大的（关于包含关系）。

(在选择公理的条件下)

证明： 定义 $\Omega$ 为所有（左、右或双边；为了简洁，在证明的剩余部分我们将省略这种区别）不与 $S$ 相交并包含 $I$ 的所有理想的集合。这是一个非空集，因为 $I\in \Omega$。此外，给定 $\Omega$ 中关于包含关系的任何升链 $(I_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$，其中 $\Lambda$ 是任何全序集，我们得到

$K:=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }\in \Omega$;

实际上，$K$ 是一个理想，它当然包含$I$，最终它不与$S$相交。因此，$\Omega$关于包含是归纳的，我们可以根据佐恩引理选择一个最大元素，我们将其表示为$J$。断言$J$实际上具有所有必需的属性。剩下的唯一需要证明的是$J$是一个素理想。$\Box$

TODO: 区分非交换环中的完全素理想和素理想