一般环论/诺特环

定义（右诺特环）:

一个交换环 $R$ 被称为右诺特环，当且仅当 $R$ 的所有右理想集，按包含关系排序，满足升链条件。

左诺特环的定义类似。

定义（诺特环）:

一个交换环 $R$ 被称为诺特环，当且仅当 $R$ 的所有理想集，按包含关系排序，满足升链条件。

我们将仅陈述和证明右诺特环的结果，尽管它们对左诺特环和诺特环同样有效。

命题（诺特环的理想包含其根基的幂）:

设 $R$ 是一个诺特环，设 $I\leq R$ 是一个理想。则存在 $n\in \mathbb {N}$ 使得

${\sqrt {I}}^{n}\subseteq I$.

证明: 设 $i_{1},\ldots ,i_{k}$ 是 $sqrt{I}$ 作为 $R$-模的基础。然后选择 $m\in \mathbb {N}$ 足够大，使得

$\forall j\in [k]:i_{j}^{m}\in I$.

然后定义 $n:=km$ 并观察到，每当 $a=r_{1}i_{1}+\cdots +r_{k}i_{k}\in {\sqrt {I}}$，则根据鸽巢原理，在展开表达式 $a^{n}$ 并考虑每个加数时，我们发现对于每个加数，至少存在一个 $j\in [k]$，使得 $i_{j}$ 的相应幂大于或等于 $m$。 $\Box$

命题（诺特环的元素是不可约元素的乘积）:

设 $R$ 是一个诺特环，并设 $a\in R$ 是一个非单位元。那么存在不可约元素 $b_{1},\ldots ,b_{n}$ 使得

$a=b_{1}\cdots b_{n}$.

(在依赖选择公理的条件下)

证明：实际上，非单位元 $a$ 可分解为 $a=c_{1}c_{2}$，其中 $c_{2}$ 是一个非单位元，且要么 $c_{2}$ 是不可约的且 $c_{1}$ 是一个单位元，或者 $c_{1},c_{2}$ 都是不可约的，或者 $c_{2}$ 不是不可约的，并且是 $a$ 的一个真因子。同样地，对于 $c_{2}=c_{3}\cdot c_{4}$ 也是如此，并且通过归纳法，我们得到一个递增链

$\langle a\rangle \subseteq \langle c_{2}\rangle \subseteq \langle c_{4}\rangle \subseteq \langle c_{6}\rangle \subseteq \cdots$

这由诺特假设稳定。但如果选择足够大的 $n\in \mathbb {N}$，使得序列在 $c_{2n}$ 之后稳定，则 $c_{2n}$ 是不可约的。因此，我们可以将 $a=d_{1}b_{1}$ 因式分解，其中 $b_{1}$ 是不可约的，并以相同的方式继续下去，我们再次获得一个递增序列，其稳定性意味着所需的因式分解。 $\Box$