命题（交换环扩张是一个模）:
令 R {\displaystyle R} 为交换环，令 S {\displaystyle S} 为 R {\displaystyle R} 的交换环扩张。那么 S {\displaystyle S} 以及它自己的加法运算和 S {\displaystyle S} 乘法的限制到 R × S {\displaystyle R\times S} 是一个 R {\displaystyle R} 上的模。
证明：根据环的公理，我们推导出模的公理如下：令 λ , μ ∈ R {\displaystyle \lambda ,\mu \in R} 和 a , b ∈ S {\displaystyle a,b\in S} 。那么
正在使用的环公理用括号标明。 ◻ {\displaystyle \Box }
命题 ():
令 S / R {\displaystyle S/R} 为环扩张。那么函数
定义了一个从 S {\displaystyle S} 的理想到 R {\displaystyle R} 的理想的函数。
证明： 事实上， I ∩ R ≤ R {\displaystyle I\cap R\leq R} ，因为它显然对加法和乘以 R {\displaystyle R} 的元素封闭。 ◻ {\displaystyle \Box }
令 S / R {\displaystyle S/R} 为环扩张，并假设 T ⊆ S {\displaystyle T\subseteq S} 为一个乘法集。 则 T ∩ R {\displaystyle T\cap R} 是 R {\displaystyle R} 的一个乘法集。
证明： T ∩ R {\displaystyle T\cap R} 对乘法封闭，因为 T {\displaystyle T} 和 S {\displaystyle S} 都对乘法封闭。 ◻ {\displaystyle \Box }
（分配律）
（分配律）
（乘法的交换性）
（单位）
