定义（第二可数） :
令 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} 第二可数 当且仅当 X {\displaystyle X}
由于可数集的子集是可数的，并且开邻域生成 N ( x ) {\displaystyle N(x)}
命题 () :
第二可数空间是可分的
（在可数选择公理的条件下。）
证明： 令 ( U n ) n ∈ N {\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} }} X {\displaystyle X} x n ∈ U n {\displaystyle x_{n}\in U_{n}} S := { x n | n ∈ N } {\displaystyle S:=\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}} ◻ {\displaystyle \Box }
证明： 拓扑空间 X {\displaystyle X} ( U n ) n ∈ N {\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} }} S {\displaystyle S} ( S ∩ U n ) n ∈ N {\displaystyle (S\cap U_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ◻ {\displaystyle \Box }
命题 () :
连续函数到豪斯多夫空间，其值由稠密子空间唯一确定
Proof: Let x ∈ X {\displaystyle x\in X} V ⊆ Y {\displaystyle V\subseteq Y} G ( x ) {\displaystyle G(x)} G {\displaystyle G} U {\displaystyle U} x {\displaystyle x} V {\displaystyle V} V ′ {\displaystyle V'} F ( x ) {\displaystyle F(x)} U ′ {\displaystyle U'} V ′ {\displaystyle V'} U ∩ U ′ {\displaystyle U\cap U'} V ∩ V ′ {\displaystyle V\cap V'} F ( x ) , G ( x ) ⊆ V ∩ V ′ {\displaystyle F(x),G(x)\subseteq V\cap V'} V {\displaystyle V} G ( x ) {\displaystyle G(x)} V ′ {\displaystyle V'} F ( x ) {\displaystyle F(x)} F ( x ) ≠ G ( x ) {\displaystyle F(x)\neq G(x)} V ∩ V ′ = ∅ {\displaystyle V\cap V'=\emptyset } V , V ′ {\displaystyle V,V'} G ( x ) ∈ V ∩ V ′ {\displaystyle G(x)\in V\cap V'} F ( x ) = G ( x ) {\displaystyle F(x)=G(x)} x {\displaystyle x} ◻ {\displaystyle \Box }
