一般拓扑/杂项空间

诺特空间

定义（诺特拓扑空间）:

设 $X$ 为拓扑空间。 $X$ 称为 **诺特** 当且仅当对于所有开放子集的升链

U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{n}\subseteq \cdots

存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得对于所有 $n\geq N$ ，我们有 $U_{n}=U_{N}$ 。

在后一种情况下，我们说升链 $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{n}\subseteq \cdots$ *稳定*。

命题（诺特当且仅当所有开集都是紧的）:

设 $X$ 为拓扑空间。 $X$ 是诺特当且仅当它的所有开放子集都是紧的。

（在依赖选择公理的条件下。）

证明： 首先假设 $X$ 是诺特空间，并令 $U\subseteq X$ 为开集。令 $(V_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 为 $U$ 的一个开覆盖。根据子空间拓扑的定义，每个 $V_{\alpha }$ 在 $X$ 中是开集。 $U$ 的开覆盖构造如下：任意选取 $\alpha _{1}$ 。一旦选择了 $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ ，要么我们已经有了 $U=V_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup V_{\alpha _{k}}$ ，要么我们可以选择 $\alpha _{k+1}\in A$ 使得 $V_{\alpha }\not \subseteq V_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup V_{\alpha _{k}}$ 。这个过程必须终止，否则，在定义了

W_{k}:=V_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup V_{\alpha _{k}}

,

后，我们得到一个递增链

W_{1}\subsetneq W_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq W_{k}\subsetneq \cdots

它不会稳定。现在假设 $X$ 中的所有开子集都是紧致的。令

U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq \cdots \subseteq U_{n}\subseteq \cdots

为 $X$ 中任何一个递增的开子集链，并定义

U_{\infty }:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}

.

我们立即看到 $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $U_{\infty }$ 的一个开覆盖，因此根据其紧致性，我们可以从中提取出一个有限子覆盖 $U_{n_{1}},\ldots ,U_{n_{k}}$ ，其中索引为 $n_{1},\ldots ,n_{k}\in \mathbb {N}$ 。现在令 $N:=\max\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$ ，使得对于 $n\geq N$

U_{\infty }\subseteq U_{N}\subseteq U_{n}\subseteq U_{\infty }

，即

U_{n}=U_{\infty }=U_{n}

，

也就是说，递增链稳定下来。 $\Box$

不可约空间

定义（不可约空间）:

令 $X$ 是一个拓扑空间。 $X$ 被称为 **不可约** 或 **超连通**，如果只要 $U,V\subseteq$ 是非空的开集，那么 $U\cap V\neq \emptyset$ 。

命题（不可约空间的刻画）:

令 $X$ 是一个拓扑空间。那么以下等价

$X$ 是不可约的
当 $A,B\subseteq X$ 是 $X$ 的两个闭子集，并且它们都不是 $X$ 的全部，那么 $A\cup B\neq X$
当 $U\subseteq X$ 是一个非空的开集，那么它是稠密的。
当 $A\subseteq X$ 是闭集，那么它是稀疏的。

Proof: We prove 1. $\Rightarrow$ 2. $\Rightarrow$ 3. $\Rightarrow$ 4. $\Rightarrow$ 1. Let first $X$ be irreducible, and suppose that $A,B$ are two proper closed subsets of $X$ . Suppose that $A\cup B=X$ , and define $U:=X\setminus A$ and $V:=X\setminus B$ . Then $U\cap V=X\setminus (A\cup B)=\emptyset$ . Suppose now that $U\subseteq X$ is open and nonempty and 2. holds. If $U\subseteq X$ is open, but not dense, $A:={\overline {U}}$ is not all of $X$ , and further $B:=X\setminus U$ is closed and not all of $X$ ( $U$ was nonempty). Therefore, $X=A\cup B$ , the union of two proper closed subsets, which is impossible by 2. Suppose now 3. holds and $A\subseteq X$ is closed. Then $U:=X\setminus A$ is open and hence dense in $X$ . Let $V\subseteq X$ be an arbitrary open subset, and suppose that $A\cap V$ is dense in $V$ . $\Box$