一般拓扑/序拓扑和半连续性

定义（序拓扑）:

令 $(S,\leq )$ 是一个偏序集。 $S$ 上的序拓扑是指具有以下集合作为子基的拓扑

$(a,b):=\{x\in S|a<x<b\}$.

命题（格上的半开区间构成拓扑基）:

令 $(S,\leq )$ 是一个格。 那么集合

$(a,b):=\{x\in S|a<x<b\}$

构成一个 $\pi$-系统；特别地，它们构成拓扑基。

证明： 我们有

$(a,b)\cap (c,d)=(a\vee c,b\wedge d)$. $\Box$

定理（魏尔斯特拉斯型定理）:

令 $X$ 是一个紧致拓扑空间，令 $(S,\leq )$ 是一个格。 令 $f:X\to S$ 是关于 $S$ 上的序拓扑连续的。 则 $f(X)$ 在 $S$ 中是有界的。

证明： 集合

$f^{-1}((a,b))$

构成 $X$ 的一个开覆盖，其中 $a,b$ 在 $S$ 中取值。 由于紧致性，我们可以找到一个有限子覆盖

$X=f^{-1}((a_{1},b_{1}))\cup \cdots \cup f^{-1}((a_{n},b_{n}))$.

但是

$(a_{1},b_{1})\cup \cdots \cup (a_{n},b_{n})\subseteq (a_{1}\wedge \cdots \wedge a_{n},b_{1}\vee \cdots \vee b_{n})$,

因此，$f$ 将 $X$ 中的每个点映射到后一个区间。 $\Box$