一般拓扑/分离

假设我们有一个拓扑空间 $X$ 和两个不同的点 $x,y\in X$。假设进一步说，利用拓扑结构，我们试图分离这些点，也就是说，找到包含一个点但不包含另一个点的集合。通常这不可能。但有可能的拓扑空间形成了重要的拓扑空间类别，这些类别被称为满足分离公理。存在一个重要的分离公理层次结构，它们从 T₀ 到 T₆ 编号，然后是 R₀ 和 R₁ 公理。T 公理关注经典意义上的分离，而 R 公理只关注拓扑可区分点的分离。

定义（拓扑可区分性）:

设 $X$ 是一个拓扑空间，并且设 $x,y\in X$。如果存在一个 $X$ 的开集 $U$ 包含 $\{x,y\}$ 的一个点，但不包含另一个点，那么称这两个点 $x$ 和 $y$ 是拓扑可区分的。否则，$x$ 和 $y$ 被称为拓扑不可区分的。

定义（T₀ 空间）:

令 $X$ 为拓扑空间。当且仅当对于任意两个不同的点 $x,y\in X$（即 $x\neq y$），存在 $X$ 的开集 $U$，使得 $U$ 包含 $x$ 或 $y$，但不能同时包含两者。

换句话说，我们可以将 T₀ 空间定义为任何两个点在拓扑上都可区分的空间。

下图展示了这一情况

定义 (T₁ 空间):

令 $X$ 为拓扑空间。当且仅当对于任意两个不同的点 $x,y\in X$，存在 $X$ 的开集 $U$，使得 $U$ 不包含 $y$，但包含 $x$。

下图展示了这一情况

我们介绍第一个 R 公理

定义 (R₀ 空间):

R₀ 空间是一个拓扑空间 $X$，其中对于任意一对在拓扑上可区分的点 $x,y$，都存在 $x$ 的邻域 $U$ 不包含 $y$，以及一个 $y$ 的邻域 $V$ 不包含 $x$。

命题 (T₁ 空间的刻画):

令 $X$ 为拓扑空间。以下等价

1. $X$ 是 T₁ 空间
2. X 的所有余有限子集都是开的
3. X 的所有有限子集都是闭的
4. X 的点是闭的
5. X 同时是 T₀ 和 R₀ 空间

证明：如果 X 是 T₁ 空间，且 x∈X，那么 X\ {x} 是开的，因为对于 y∈X，我们找到 y 的一个开邻域 V_y（为了避免选择公理，可以选择所有此类邻域的并集），使得 x∉V_y，然后

X\ {x} = ∪_y≠xV_y.

那么，$X$ 的每个余有限子集都是开集，因为它是有限多个开集的交集。由于闭集是开集的补集，所以 3. 成立。3. $\Rightarrow$ 4. 是显然的。给定两个不同的点 $x,y\in X$，设 $U:=X\setminus \{y\}$ 和 $V:=X\setminus \{x\}$。那么 $U$ 和 $V$ 表明 $X$ 是 T₀（任意两个点在拓扑上是可区分的）且 R₀（如果某个语句对任意两个点都成立，则对拓扑上可区分的点也成立）。最后假设 $X$ 同时是 T₀ 和 R₀。设 $x,y$ 是任意两个不同的点。由于 $X$ 是 T₀，$x,y$ 在拓扑上是可区分的，并且由于 $X$ 是 R₀，我们找到 $x$ 的邻域 $U$ 和 $y$ 的邻域 $V$，使得 $y\notin U$ 且 $x\notin V$。$\Box$

定义（R₁ 空间）:

如果对于拓扑空间 $X$ 中的任何两个拓扑可区别的点 $x,y$ ，都存在 $x$ 的开邻域 $U$ 和 $y$ 的开邻域 $V$ ，使得 $U\cap V=\emptyset$ ，则该拓扑空间被称为 R₁ 空间。

迄今为止，最常见的满足分离公理的空间类别是豪斯多夫空间。

定义（豪斯多夫空间）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。如果对于任何两个不同的点 $x,y\in X$ ，存在 $X$ 的两个开集 $U$ 和 $V$ ，使得 $U\cap V=\emptyset$ ， $x\in U$ 且 $y\in V$ ，则称该拓扑空间为 **豪斯多夫空间** 。

这种情况在下图中有所体现。

命题（豪斯多夫空间中有限多个点的分离）:

令 $X$ 是一个豪斯多夫拓扑空间，并令 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 是 $X$ 中的互不相同的点。 那么存在 $x_{j}$ 的邻域 $U_{j}$ ($j\in [n]$)，使得对于 $j\neq k$，我们有 $U_{j}\cap U_{k}=\emptyset$。

Proof: We proceed by induction on $n$. The case $n=1$ is trivial. Suppose the claim holds true for $n-1$, and let $x_{1},\ldots ,x_{n}$ be distinct points in $X$. By induction, choose neighbourhoods $V_{1},\ldots ,V_{n-1}$ of $x_{1},\ldots ,x_{n-1}$ respectively such that $V_{j}\cap V_{k}=\emptyset$ for $j\neq k$. Since $X$ is Hausdorff, we find for all $j\in [n-1]$ neighbourhoods $W_{j},U_{j}$ of $x_{j}$ resp. $x_{n}$ such that $W_{j}\cap U_{j}=\emptyset$. Then set $O_{n}:=\bigcap _{j=1}^{n-1}U_{j}$ and for $j\in [n-1]$ set $O_{j}:=V_{j}\cap W_{j}$. Then $O_{1},\ldots ,O_{n}$ is a set of open sets as desired. $\Box$

豪斯多夫空间位于 T₀ 到 T₆ 拓扑空间的分类体系中。

定义 (T₂ 空间):

T₂ 空间是豪斯多夫空间。

命题 (R-公理刻画豪斯多夫空间):

令 $X$ 是一个拓扑空间。 $X$ 是豪斯多夫空间当且仅当 $X$ 是 T₀ 且 R₁。

证明: 如果 $X$ 是豪斯多夫空间，它当然是 T₀ 且 R₁。 另一方面，如果它是 T₀，所有点在拓扑上是不可区分的，因此对于任意两点 $x,y\in X$ 我们发现 $U,V$ 是开集，并且 $x\in U$，$y\in V$ 并且 $U\cap V=\emptyset$。 $\Box$

命题 (对角线准则判断豪斯多夫空间):

令 $X$ 为一个拓扑空间，并令 $\Delta \subseteq X\times X,\Delta :=\{(x,x)|x\in X\}$ 为对角线。 那么 $X$ 是豪斯多夫空间当且仅当 $\Delta \subseteq X\times X$ 是闭集，其中我们考虑 $X\times X$ 为具有积拓扑的拓扑空间。

Proof: Let $x,y\in X$ be arbitrary. $X$ being Hausdorff means that there exist open neighbourhoods $y\in U_{y}$ and $x\in U_{x}$ so that $U_{x}\cap U_{y}=\emptyset$. If that is always the case, then whenever $(x,y)$ is not in $\Delta$ and $U_{x},U_{y}$ are so chosen, then $U_{x}\times U_{y}$ is a neighbourhood of $(x,y)$ in $X\times X\setminus \Delta$, so that the diagonal is closed as the complement of an open set. Conversely, if $\Delta$ is closed, let $x,y\in X$ be arbitrary and not equal to each other. Then $(x,y)\notin \Delta$, and since $X\times X\setminus \Delta$ is open, by definition of the product topology we find open sets $U_{y}$ and $U_{x}$ of $X$ so that $(x,y)\in U_{x}\times U_{y}$ and $U_{x}\times U_{y}\in X\times X\setminus \Delta$. From the first of these conditions we deduce that $x\in U_{x}$ and $y\in U_{y}$, and from the second we deduce that $U_{x}\cap U_{y}\neq \emptyset$, since any $z\in U_{x}\cap U_{y}$ would yield $(z,z)\in U_{x}\times U_{y}$. $\Box$

定义（乌雷松空间）:

一个拓扑空间 $X$ 被称为乌雷松空间，当且仅当对于所有不同的点 $x,y\in X$ 我们能找到 $x$ 和 $y$ 的闭邻域 $A,B$ 使得 $A\cap B=\emptyset$.

命题（乌雷松空间是豪斯多夫空间）:

令 $X$ 为一个乌雷松空间。 那么 $X$ 是豪斯多夫空间。

证明： 令 $x,y\in X$ 使得 $x\neq y$，并选择 $x$ 和 $y$ 的闭邻域 $A,B$ 使得 $A\cap B=\emptyset$。然后根据点邻域的定义，选择 $U\subseteq A$ 和 $V\subseteq B$ 开集，使得 $x\in U$，$y\in V$。然后 $U,V$ 是 $x$ 和 $y$ 的邻域，满足豪斯多夫条件的要求。 $\Box$

定义 (T_2½ 空间):

拓扑空间 $X$ 是一个 T_2½ 空间 当且仅当它是一个乌雷松空间。

也存在更强的分离条件。它们通常是在封闭集方面进行表述的，因此它们并不完全符合 T 轴公理层次结构（你会明白我的意思），但将它们与一个小的 T 轴公理（即 T₀ 或 T₁）结合起来，我们可以得出 T 轴公理层次结构中相应的公理。

定义 (正则空间):

令 $X$ 为拓扑空间。 $X$ 是 **正则** 的，当且仅当对于每一个闭集 $A\subseteq X$ 和每一个点 $x\in X\setminus A$，都存在开集 $U,V\subseteq X$ 使得 $x\in U$，$A\subseteq V$ 且 $U\cap V=\emptyset$.

命题（正则空间的特征是存在闭邻域基本系统）:

令 $X$ 为拓扑空间。 $X$ 是正则的，当且仅当对于所有的 $x\in X$ 都存在一个由闭集组成的 $N(x)$ 基本系统。

证明： 首先假设每个 $N(x)$ ($x\in X$) 具有闭集的基本系统。令 $A\subseteq X$ 为任意闭集，并令 $x\in X\setminus A$。现在 $U:=X\setminus A$ 是 $x$ 的一个开邻域。由于 $x$ 具有由闭邻域构成的基本系统，选择一个闭集 $B\subseteq U$ 使得 $x\in B$。由于 $B$ 是 $x$ 的一个邻域，选择一个开集 $V\subseteq B$ 使得 $x\in U$。那么 $V$ 和 $X\setminus B$ 在正则空间的定义中起作用。

假设现在$X$是正则的，设$x\in X$，设$U$ 是$x$ 的任意开邻域。断言$U$包含$x$ 的闭邻域。事实上，令$A:=X\setminus U$。由正则性，选取$x$ 的邻域$V$ 和一个包含$A$ 的开集$W$ 使得$V\cap W=\emptyset$。那么$B:=X\setminus W$ 就是所求的闭邻域，因为它包含$x$ 的开邻域$V$。 $\Box$

定义 (T₃ 空间):

一个T₃ 空间是一个满足 T₀ 和正则的拓扑空间。

命题 (T₃ 空间是 Urysohn 的):

设$X$ 是一个 T₃ 空间。那么$X$ 是一个 Urysohn 空间。

证明： 由于 $X$ 是正则的，所以对于每个点都存在邻域系的闭包基本系。 因此，设 $x,y\in X$ 是任意两个不同的点。只需证明它们可以通过不相交的开邻域分离。根据 T₀ 性质，不妨设 $U$ 是 $x$ 的一个开邻域，使得 $y\notin U$。设 $A:=X\setminus U$，它是闭集且包含 $y$。由于 $X$ 是正则的，我们可以选取不相交的开集 $V$ 和 $W$，使得 $x\in V$，$A\subseteq W$ 并且 $V\cap W=\emptyset$。 $\Box$

定义（完全正则空间）:

设 $X$ 是一个拓扑空间。 $X$ 是一个完全正则空间当且仅当对于所有闭集 $A\subseteq X$ 和点 $x\in X\setminus A$，我们都能找到一个连续函数 $f:X\to [0,1]$，使得 $f(x)=0$ 并且 $\forall z\in A:f(z)=1$。

命题（完全正则空间是正则的）:

令 $X$ 为一个完全正则空间。那么 $X$ 是正则的。

证明：令 $x\in X$，并令 $A\subset X$ 为闭集，使得 $x\notin A$。由于 $X$ 是完全正则的，选择一个连续函数 $f:X\to [0,1]$ 使得 $f(x)=0$ 且 $f(z)=1$ 对于 $z\in A$。然后设置 $U:=f^{-1}([0,1/3))$ 和 $V:=f^{-1}((2/3,1])$，并观察到 $U$ 和 $V$ 根据 $[0,1]$ 的子空间拓扑的定义是开集，即 $U\cap V=f^{-1}([0,1/3)\cap (2/3,1])=\emptyset$，并且当然有 $x\in U$，$A\subseteq V$，因此 $X$ 是正则的。 $\Box$

定义 (T_3½ 空间):

一个 T_3½ 空间 既是 T₀ 空间，又是完全正则空间。

命题 (T_3½ 空间是 T₃ 空间):

令 $X$ 为一个 T_3½ 空间。那么 $X$ 是 T₃。

证明: 根据定义，它是 T₀，并且由于完全正则空间是正则的，因此它是正则的。 $\Box$

定义（正规空间）:

正规空间是一个拓扑空间，对于所有闭合的不相交子集 $A,B\subset X$，$A\cap B=\emptyset$，都存在开集 $U,V$ 使得 $A\subseteq U$，$B\subseteq V$ 以及 $U\cap V=\emptyset$。

定义（T₄ 空间）:

T₄ 空间是一个既是 T₁ 又正规的拓扑空间。

下图展示了这一情况

定理（乌里松引理）:

令 $X$ 为一个正规空间，并令 $A,B\subseteq X$ 为 $X$ 的两个闭合不相交子空间。那么我们可以找到一个连续函数 $f:X\to \mathbb {R}$ 使得 $f(x)=0$ 对于所有 $x\in A$ 以及 $f(y)=1$ 对于所有 $y\in B$。

（关于依赖选择条件。）

证明： 我们证明如果给定一个 $U$ 的 $X$ 开集和一个 $A\subseteq U$ 的闭集，那么我们可以找到一个连续函数 $f:X\to \mathbb {R}$ 使得 $f$ 在 $A$ 内部为零，在 $U$ 外部为 $1$；然后通过定义 $U:=X\setminus A$ 并应用我们的辅助结果，就可以得到定理。

实际上，注意到由于 $X$ 是正规的，我们找到一个开集和一个闭集（我们用 $U_{1/3}$ 和 $A_{2/3}$ 表示它们）使得 $A\subseteq U_{1/3}\subseteq A_{2/3}\subseteq U$。我们现在重复这个过程；也就是说，对于每个 $k\in \mathbb {N}$，我们构造一个序列

$A\subseteq U_{1/3^{k}}\subseteq A_{2/3^{k}}\subseteq U_{1/3^{k-1}}\subseteq A_{4/3^{k}}\subseteq \cdots \subseteq U$

由正规性以及我们在 $k-1$ 步中得到的序列（这需要依赖选择公理）。然后我们定义

$f(x):=\sup\{n/3^{k}|k\in \mathbb {N} ,0\leq n\leq 3^{k},x\notin S_{n/3^{k}}\}$,

where we define $S_{n/3^{k}}$ to equal $U_{n/3^{k}}$ or $A_{n/3^{k}}$, depending on whether $n$ is even or odd, and $A_{0}:=A$ and $U_{1}:=U$. We then have $f(x)=0$ for $x\in A$ and $f(x)=1$ for $x\notin U$, and further $f$ is continuous; indeed, it is continuous at each point, since if we set $y_{0}:=f(x_{0})\in [0,1]$ for a fixed $x_{0}\in X$ and fix an $\epsilon >0$, then we choose $k$ sufficiently large so that $1/3^{k-1}<\epsilon$ and then $n\in \mathbb {N}$ so that $x\in S_{n/3^{k}}\setminus S_{(n-1)/3^{k}}$ (if $x\in A$, then $U_{1/3^{k}}$ is a neighbourhood that will map wholly to $[0,\epsilon )$) and then either $n$ is even, so that $U_{(n+1)/3^{k}}\setminus A_{(n-2)/3^{k}}$ maps to $[0,\epsilon )$ (note $n\geq 2$ if $n\neq 0$ and even), or $n$ is odd and $U_{n/3^{k}}\setminus A_{(n-1)/3^{k}}$ is a neighbourhood of the desired form. $\Box$

命题（T₄ 空间是 T_3½）:

设 $X$ 是一个 T₄ 空间。那么 $X$ 是一个 T_3½ 空间。

（关于依赖选择条件。）

证明： 根据乌雷松引理，我们只需注意到 $X$ 中的所有点都是闭集。但是这确实是这种情况，因为 $X$ 是 T₁。 $\Box$

定理（蒂策-乌雷松定理）:

设 $X$ 是一个正规空间，设 $A\subset X$ 是一个闭集，设 $f:A\to \mathbb {R}$ 是一个连续函数。那么存在一个连续函数 $F:X\to Y$ 使得 $F\upharpoonright _{A}=f$.

证明： $\Box$

练习

1. 设 $X$ 是一个有限集。证明 $X$ 上恰好存在一个豪斯多夫拓扑，并找出它是什么。
2. 设 $X$ 为拓扑空间。证明当加入空集后，满足 $X\setminus U$ 是有限集的集合 $U\subseteq X$ 在 $X$ 上形成拓扑（这种拓扑称为余有限拓扑）。此外证明，如果 $X$ 是无限集，那么它连同这种拓扑是 $T_{1}$ 空间，但不是豪斯多夫空间。
3. 设 $X$ 为一个拓扑空间，其拓扑是由函数族 $f_{\alpha }:X\to X_{\alpha }$ 诱导的初拓扑。证明 $X$ 是 T₀ 空间当且仅当对 $X$ 中的任意 $x\neq y$，存在一个 $\alpha$ 使得 $f_{\alpha }(x)$ 和 $f_{\alpha }(y)$ 在拓扑上可区分。