小学几何/相似形

在本章中，我们将开始讨论相似性和相似性定理。我们说两个图形相似，如果它们具有相同的形状但大小不同。相似图形有三个共同点：对应边（corr. sides）、对应角（corr. ∠s）和对应点（corr. points）。我们只会讨论相似三角形。

全等三角形

三角形$\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似当且仅当以下所有条件成立

1. 边${\overline {AB}}$与${\overline {DE}}$成比例。（对应边）
2. 边${\overline {BC}}$与${\overline {EF}}$成比例。（对应边）
3. 边${\overline {AC}}$与${\overline {DF}}$成比例。（对应边）
4. 角$\angle ABC$等于$\angle DEF$。（对应角）
5. 角$\angle BCA$等于$\angle EFD$。（对应角）
6. 角$\angle CAB$等于$\angle FDE$。（对应角）

请注意，顶点的顺序很重要。$\triangle ABC$和$\triangle ACB$即使都指的是同一个三角形，也可能不相似。请记住，对应点的位置必须在两个三角形上相同。

相似性定理给出了一组最少的条件，这些条件足以证明两个三角形相似。它们是三边成比例、AAA和两边之比，包括∠。我们稍后会讨论它们。

已知相似三角形求未知数

假设我们有两个三角形，$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$，它们全等。AB=3，BC=5，EF=10，∠F=90° 且 ∠E=60°。我们需要求出DE和∠A。以下是解题方法

${\begin{aligned}\angle F+\angle E+\angle D&=180^{\circ }{\text{ (}}\angle {\text{ sum of }}\triangle {\text{)}}\\90^{\circ }+60^{\circ }+\angle D&=180^{\circ }\\\angle D&=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }\\&=30^{\circ }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\because \triangle ABC&\sim \triangle DEF{\text{ (given)}}\\\therefore {\frac {DE}{AB}}&={\frac {EF}{BC}}{\text{ (corr. sides, }}\sim \triangle {\text{s)}}\\{\frac {DE}{3}}&={\frac {10}{5}}\\DE&={\frac {10}{5}}\times 3\\DE&=6\\\And \angle A&=\angle D{\text{ (corr. }}\angle {\text{s, }}\sim \triangle {\text{s)}}\\\angle A&=30^{\circ }\end{aligned}}$