加速器物理中的非线性动力学指南/定义

相空间

相空间指的是动力学发生的空間。为了用哈密顿量描述动力学，必须指定位置和动量，${\vec {x}}$ 和 ${\vec {p}}$。虽然一般的相空间可能是具有非平凡拓扑结构的 2N 维流形（例如，摆的位置坐标会连接回自身），但是通常，相空间是 $\mathbb {R} ^{2N}$。

可观测量或函数

一个可观测量或简称为函数是从相空间到 $\mathbb {R}$ 的函数。它们可以用多元多项式表示，或者用截断的泰勒级数近似。一个分布的例子是

$\epsilon =\gamma x^{2}+2\alpha xp+\beta p^{2}$

可观测量或函数可以与映射组合。见后文。

映射

一个映射是相空间到自身的一个函数。它可以用可观测量或函数的向量表示。映射可以相加和乘以一个标量。一个映射可以是一个常数映射

$M:{\vec {z}}\to {\vec {z}}_{0}$

一个映射可以是线性的。如果 A 是一个矩阵

$M={\rm {map}}(A,{\vec {z}}):{\vec {z}}\to A{\vec {z}}.$

一个映射也可以是非线性的。

$M={\rm {map}}(z_{1}=f_{1}(z_{1},z_{2},...),z_{2}=f_{2}(z_{1},z_{2},...):z_{1}\to A{\vec {z}}.$

函数可以与映射组合。

如果相空间中的一个点具有坐标 $(x,p)$，$f(x,p)$ 是一个可观测量，$M=(m1(x,p),m2(x,p))$ 是一个映射，其中 $m1,m2$ 是可观测量，合成定义为

$f(M)=f(x=m1(x,p),p=m2(x,p))$.

合成可以扩展到函数向量，因此也适用于映射。映射通过合成运算形成代数。

我们用 $()$ 或 $\circ$ 或空来表示合成。

如果 $A$ 是一个映射，而 $f$ 是一个函数，我们用以下符号表示合成运算：

$f(A)=f\circ A=Af$

如果 A、B 是映射，我们用以下符号表示合成运算：

$A(B)=A\circ B=BA$,

例如，如果

$M_{1}=(x=x+pl,p=p)\qquad M_{2}=(x=x,p=p+kx)\qquad f=x^{2}$

$M_{1}(f)=(x+pl)^{2}$

$M_{1}(M_{2})=M_{2}M_{1}=(x=x+(p+kx)l,p=p+kx)$

请注意，如果 A 和 B 是矩阵

${\rm {map}}(A)\circ {\rm {map}}(B)={\rm {map}}(B){\rm {map}}(A)={\rm {map}}(AB)$

人们可以将跟踪代码视为计算映射的算法，该映射是单圈映射的近似值。

运算符

一个运算符是一个将一个函数转换为另一个函数的函数。映射也是一个运算符。运算符可以由函数生成，例如导数运算符、向量场、李运算符。运算符可以组合起来形成例如指数运算符。

导数运算符

一个导数运算符由各种导数的幂和乘以分布组成。例如向量场和李运算符。

向量场

一个形式为$f(x,p)\partial _{x}+g(x,p)\partial _{p}$的微分运算符。

动力系统

动力系统可以通过求解以下问题来定义：

$\partial _{t}x(t)=f(x)$

其中$x(t)$是$\mathbb {R} ^{n}$中的轨迹，$f(x)$是一个映射。

如果我们有兴趣找到$g(x)\circ x(t)$，其中$g$通常是一个映射，则解可以写成

$g(x(t))=\exp(tf(x)\cdot \partial _{x})g(x)=\exp(v_{f})g(x)$

其中$v_{f}=tf(x)\cdot \partial _{x}$是一个向量场，并且

$\exp(v_{f})=1+v_{f}+{\frac {1}{2}}v_{f}v_{f}+\ldots$

该方法可用于例如求解从初始条件$x_{0}$开始的微分方程。首先定义$g(x)=x$

然后计算

$s(x,t)=\exp(v_{f})x$

然后用 $x_{0}$ 代替 s 中的 $x$，解将为 $s(x_{0},t)$。

李算子

当映射由 $f=J{\rm {grad}}H=J\partial H$ 定义时，向量场的特例，其中 $J$ 是辛矩阵。

如果 $H$ 是 $x$ 和 $p$ 的函数。

$v_{f}=-\partial _{p}H\partial _{x}+\partial _{x}H\partial _{p}$.

在文献中它通常表示为

$:H:$

使得

$:H:g=[H,g]$

其他概念

微分代数

具有导数性质的代数。与非标准分析领域有关。TPSA 向量是近似的例子。另见 [1]

TPSA

截断幂级数代数。所有在特定阶数截断的幂级数的代数。幂级数可以相加，相乘。可以为它们定义解析函数。幂级数可以与映射复合。例如：epsilon(z)。

k-射流

在特定阶数 $k$ 截断的幂级数向量。如果生成映射将原点映射到原点，则复合映射可以表示为 K-射流。另见 [2]

复合映射

由映射或函数生成的算子，相当于映射与另一个映射的复合。如果生成映射将原点映射到原点，则复合映射可以表示为 k-射流。

李变换

通过对李算子求指数而产生的变换。特别地，如果 :f: 是李算子，则 $e^{:f:}$ 是李变换。当在更一般的环境中定义时，李变换构成一个群，一个李群，它也是一个拓扑群。

李代数

一般来说，任何向量场，如果它也具有满足以下性质的乘法性质

• 双线性
• 反对称
• 雅可比恒等式

在经典动力学中，指具有泊松括号作为乘法的相空间函数，或具有对易作为乘法的李算子

弗洛凯空间

粒子在其中以圆周运动的归一化空间。与弗洛凯定理有关，该定理在固体物理学中更常被称为布洛赫定理。另见 [3]

BCH 公式

一个将两个指数算子的组合关联到单个算子的公式。对于有限矩阵，我们陈述

$e^{A}e^{B}=e^{C}$

其中 C 由 A 和 B 的嵌套对易子的和组成。由于公式 [:f:,:g:]=:{f,g}:，这在李算子的情况下推广到以下陈述

$e^{:f:}e^{:g:}=e^{:h:}$

其中 h 是相空间上的分布。但是，我们注意到，这只是一个纯粹的形式关系，实际上可能会由于缺乏收敛性而失效。h 可以用不同的形式以不同形式的级数表示，具体取决于什么被认为是展开参数。如果 f 和 g 都被认为很小，那么

$h=f+g+{\frac {1}{2}}:f:g+{\frac {1}{12}}(:f:^{2}g+:g:^{2}f)+...$

如果仅考虑 g 很小，则

$h=g+{\frac {:g:}{e^{:g:}-1}}f+...$