加速器物理非线性动力学指南/线性运动

本章提供描述线性运动的工具

单个粒子的线性动力学

对于线性动力学的情况，运动可以用一个 2N x 2N 矩阵来表示。这个矩阵将相空间点映射到相空间点。让我们用 ${\vec {z}}_{0}$ 来表示初始相空间点。那么变换可以表示为

${\vec {z}}=M{\vec {z}}_{0}$ .

矩阵 $M$ 将是辛矩阵。这意味着

$M^{T}JM=J$

其中

$J=\left({\begin{matrix}0&1&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0\end{matrix}}\right)$ .

现在，在量子力学中，我们通常处理厄米算符。这些可以通过正交矩阵进行对角化。对于辛矩阵，我们可以对角化矩阵，但这里的变换矩阵将是辛矩阵。为此，我们找到 M 的特征向量。让我们将它们标记为 $v_{\pm 1,\pm 2,\pm 3}$ 正负特征模之间通过以下关系联系

$v_{-k}=iv_{k}^{*}$

我们可以通过定义一个上标向量来定义归一化

$v^{j}=-i{\rm {sgn}}(j)v_{j}^{*}$

然后我们发现归一化条件

$v^{j}v_{k}=\delta _{jk}$

特征向量矩阵

$U=(v_{1}\ v_{-1}v_{2}\ v_{-2}\ v_{3}\ v_{-3})$

是辛矩阵。不变量用特征向量表示为

$G_{a}=-J(v_{a}v_{a}^{\dagger }+v_{a}^{*}v_{a}^{T})J$

用李代数表示的线性运动

我们也可以将单圈映射描述为作用于 x 和 p 的算子。让我们考虑旋转矩阵 ${\begin{pmatrix}x\\p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cos\mu &\sin \mu \\-\sin \mu &\cos \mu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\p_{0}\end{pmatrix}}$ 我们可以用李算子表示它 $R=e^{{\frac {\mu }{2}}:x^{2}+p^{2}:}$ 这个算子作用于函数 x 和 p 的方式如下 $Rx=\cos \mu x-\sin \mu p$ 和 $Rp=\sin \mu p+\cos \mu x$ R 的本征函数由 $h_{\pm }=x\mp ip$ 给出，其中 $Rh_{\pm }=e^{\pm i\mu }h_{\pm }$ 。 $h_{\pm }$ 有时被称为共振基。在非线性问题中，我们需要计算出线性算子构建的各种算子。根据共振基展开将使我们能够进行这些计算。